【数据库原理】（8）关系数据库的关系代数

关系数据语言可以分为三类: 关系代数、关系演算和介于关系代数与关系演算之间的语言 SQL。
下面专门讲述用对关系进行运算来表达查询要求的关系代数。关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系。关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较运算符和逻辑运算符,其中比较运算符和逻辑运算符是用来辅助运算的专门关系运算符。
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传统的集合运算包括并、交、差和广义笛卡儿积等。集合运算把关系看做元组的集合，从水平(行)方向进行运算,广义笛卡儿积把两个关系的元组以所有可能的方式组成对。专门的关系运算包括选择、投影、连接和除等,既从行又从列的方向进行运算。“选择”会删除某些行;“投影”会删除某些列; 各种连接运算将两个关系的元组中有选择地组成对,构成一个新关系。

一. 传统的的集合运算

传统的集合运算包括并、交、差、广义笛卡儿积四种运算。

设关系 R和S 是相互兼容的,R和S 必须同类型(属性集相同、次序相同，但属性名可以不同)

1.并(Union)

数学表示： $=\{t|t∈R\vee t ∈S\}$
要求：关系 R 和 S 必须是类型相兼容的，即具有相同数量和类型的属性。
结果：产生一个包含 R 和 S 中所有唯一元组的新关系。
注意：相同元组在并集中只出现一次；

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2.交 (Intersection)

数学表示： $=\{t|t∈R\vee t∈S\}$
要求：关系 R 和 S 必须是类型相兼容的。
结果：产生一个新关系，包含同时属于 R 和 S 的元组。
注意：相同元组在交集中只出现一次;

3.差 (Difference)

数学表示： $=\{t|t∈R\vee t ∉ R\}$
要求：关系 R 和 S 必须是类型相兼容的。
结果：产生一个新关系，包含属于 R 但不属于 S 的元组。

两关系的交集可以通过差运算导出: R∩S= R-(R-S)

4.广义笛卡儿积

数学表示： $R*S=\{t_rt_s|t_r∈R\vee t_s∈S\}$
结果：产生一个新关系，其每个元组由 R 的一个元组和 S 的一个元组组成，元组总数为 R 和 S 元组数的乘积。

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注意事项

并集与交集：在实际应用中，由于关系数据库中的关系通常定义为无序集合，因此并集和交集操作会自动去除重复的元组。
广义笛卡儿积：这是一个强大的操作，它允许您组合来自两个关系的数据，即使它们之间没有直接的关联。这个操作是许多更复杂操作的基础，例如连接操作。

二.专门的关系运算

术语解释

元组（Tuple）: 在关系模型中，元组是表中的一行。
属性（Attribute）: 元组中的一个分量，类似于表中的一列。
属性列/属性组（Attribute List/Group）: 一个或多个属性构成的集合。
连接（Concatenation）: 把两个元组拼接在一起，形成一个更长的元组。
象集（Image Set）: 对于关系 R 中的特定值 x，其象集包含所有在 R 中 X 值为 x 的 Z 值。

示例：R(X, Z) 关系和 X = {S} 为例，我们有：

001 的象集 $Z_{001}$ : 包含了 S = 001 时，关系 R 中 Z 的所有值。即，所有 R 中 S 值为 001 的元组在 Z 上的值集合。
002 的象集 $Z_{002}$ : 只包含一个值，因为在 R 中只有一个元组的 S 值为 002。
003 的象集 $Z_{003}$ : 包含了两个值，对应于 S = 003 的两个不同的 Z 值。

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1.选择 (Selection)

选择运算是关系代数中非常重要的一项运算，它对应于 SQL 中的 WHERE 子句。按照指定的条件筛选出满足条件的元组（行）。

定义

符号：σ
表达式： $σ_F(R)$
逻辑：从关系 R 中选择使得逻辑表达式 F 为真的所有元组t。

逻辑表达式 F

表达式 F 可以是任何能够对关系中的元组进行评估的逻辑条件，例如 $A_1=5、A_2>10$ 或者 $A_3="John"$ 。
这些条件可以使用逻辑运算符（AND, OR, NOT）组合起来，以形成更复杂的查询条件。

示例

如果我们有一个学生表 Students(ID,Name,Age,Major)，并且我们想选择所有主修计算机科学的学生，我们可以使用以下选择表达式：

$σ_{Major}="Computer Science"(Students)$

这将返回一个新的关系，其中包含了所有满足条件 Major="Computer Science"Major=“Computer Science” 的元组。

SQL 对应

在 SQL 中，同样的操作会用下面的查询来完成：

SELECT * FROM Students WHERE Major = 'Computer Science';

注意

选择运算是从关系的水平方向进行的，即它过滤掉不满足条件的行。
选择运算的结果仍然是一个关系，这意味着结果可以作为另一个运算的输入。
选择运算不会改变元组的属性，它只是简单地包含或排除整个元组。

2.投影 (Projection)

投影运算是关系代数中的另一种基本操作，它对应于 SQL 中的 SELECT 语句（特定列的选择）。投影用于提取关系中的特定列，并创建一个新的关系，该关系仅包含指定的列。

定义

符号：π
表达式： $π_A(R)$
逻辑：从关系 R 中提取属性子集 A，并创建一个新关系，其中包含原关系的指定列。

属性子集 A

A 是关系 R 中的属性集合，可以是任意数量的属性。
投影操作将从原始关系中选择这些属性，并在新关系中仅包含这些列。

示例

假设我们有一个学生表 Students(ID,Name,Age,Major)，并且我们只对学生的名字和专业感兴趣，我们可以使用以下投影表达式：

$π_{Name, Major}(Students)$

这将返回一个新的关系，其中仅包含两列：Name 和 Major。

SQL 对应

在 SQL 中，同样的操作会用下面的查询来完成：

SELECT Name, Major FROM Students;

注意

投影运算是从关系的垂直方向进行的，即它只选择所需的列，而忽略其他列。
在执行投影运算时，可能会出现重复的行。在关系模型中，关系被视为一个集合，因此所有的重复行都会被去除，以确保结果中每个元组都是唯一的。
当需要对关系进行筛选和属性选择时，通常首先应用选择运算以减少数据集的大小，然后应用投影运算以提取所需的列。

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3.连接 (Join)

定义

表示法： $R⋈_{AθB}S$
逻辑：从关系 R 和 S 的广义笛卡儿积中选取满足 AθB 条件的元组对。

参数

A 和 B：分别是关系 R 和 S 上的属性组。
θ：比较运算符，例如 $= 、 \neq = 、 < 、 >$ 等。

类型

等值连接 (Equi-Join)
- 定义：当 θ 为等于（=）时的连接称为等值连接。
- 表示法： $R⋈_{A=B}S$
- 特点：只包含在指定属性上具有相等值的元组对。
自然连接 (Natural Join)
- 定义：一种特殊的等值连接，它自动找出两个关系中名称相同的所有属性，并基于这些属性的相等性进行连接。
- 表示法：R⋈S
- 特点：结果中不会有重复的属性列，仅包含那些在两个关系中共有的属性的元组。