数值积分与数值微分

2023年11月29日
#analysis

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1. 求积公式与代数精度

求积公式的一般形式为：
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$$A_k:求积系数,x_k:求积节点$$
如果求积公式对 $f(x)=x^j(j=0,1,\cdots ,m)$ 都精确成立，但对 $f(x)=x^{m+1}$ 不能精确成立，即
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{x}^j\mathrm{d}x=& \sum _{k=0}^n{A}_k{x}_k^j,j=0,1,\cdots ,m\\ & \\ {\int }_a^b{x}^{m+1}\mathrm{d}x\ne & \sum _{k=0}^n{A}_k{x}_k^{m+1}\end{array}$$
则称求积公式具有 $m$ 次代数精度。

[!example]-
对于数值求积公式
$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x\approx A_{0}f(x_0)+A_{1}f(x_1)$$
当 $A_1=1/4$ ， $x_1=3/8$ 时，请确定参数 $A_0$ ，$x_0$ 使此公式的代数精度尽可能地高，并确定此时公式的代数精度。
解：此求积公式只有两个参数 $A_0$ ， $x_0$ 。令公式对 $f(x)=1$ ，$x$ 都精确成立。则有
$$\{\begin{array}{l}{A}_0+A_1=1\\ \\ A_0{x}_0+A_1{x}_1=0\end{array}$$
代入 $A_1=1/4$ ，$x_1=3/8$ 得
$$\{\begin{array}{l}{A}_0+\frac{1}{4}=1\\ \\ A_0{x}_0+\frac{3}{32}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{A}_0=\frac{3}{4}\\ \\ x_0=-\frac{1}{8}\end{array}$$
$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{3}{4}f(-\frac{1}{8})+\frac{1}{4}f(\frac{3}{8})$$
当 $f(x)=x^2$ 时，由于
$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{12}\ne \frac{3}{4}(-\frac{1}{8}{)}^2+\frac{1}{4}(\frac{3}{8}{)}^2=\frac{3}{64}$$
则此求积公式的代数精度为 $m=1$ 。

• 要求的参数有 $n$ 个，则设 $f(x)=1,x,\cdots x^{n-1}$

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2. 几个常用积分公式及其复合积分公式

复合公式的代数精度不变，计算精度提高，表现为误差估计减小
这些公式用于已知原函数时候的数值积分，复合公式是在划分区间之上应用梯形或Simpson公式。

2.1 中点公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx (b-a)f(\frac{a+b}{2})=I^{\prime }$$
误差
$$I-I^{\prime }=\frac{1}{24}(b-a{)}^3{f}^{\prime \prime }(\xi ),\xi \in [a,b]$$
代数精度为 $1$

2.2 梯形公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]=I^{\prime }$$
误差
$$I-I^{\prime }=-\frac{1}{12}(b-a{)}^3{f}^{\prime \prime }(\xi ),\xi \in [a,b]$$
代数精度为 $1$

2.3 抛物型公式/Simpson公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{1}{6}(b-a)[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]=I^{\prime }$$
误差
$$I-I^{\prime }=-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(4)}(\xi ),\xi \in [a,b]$$
代数精度为 $3$

2.4 复合中点公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{i=0}^{n-1}hf(x_{i+\frac{1}{2}})=I^{\prime }$$
matlab实现

%% 复合中点公式
% 输入函数，积分下界，积分上界，区间数
% 输出积分值
function I = fmid(f, a, b, n)h = (b-a)/n; x = linspace(a+h/2, b-h/2, n); % n个区间，n+1个边界点，n个中点;I = h*sum(feval(f, x));
end

2.5 复合梯形公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_i)+f(x_{i+1})]=I^{\prime }$$
误差估计
$$|I-I_n^{\prime }|\le \frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{M}_2,记M_2=\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{\prime \prime }(x)|$$
matlab实现

%% 梯形积分公式
% 输入函数，积分下界，积分上界，划分区间数
% 输出积分值
function I = ftrapz(f, a, b, n)h = (b-a)/n;x = linspace(a, b, n+1);y = f(x);I = h*(0.5*y(1)+ sum(y(2:n))+ 0.5*y(n+1));
end

2.6 复合Simpson公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{i=0}^{n-1}\frac{h}{6}[f(x_i)+4f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(x_{i+1})]=I^{\prime }$$
误差估计
$$|I-I_n^{\prime }|\le \frac{(b-a{)}^5}{2880n^4}{M}_4,记M_4=\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{(4)}(x)|$$
matlab实现

%% 复合Simpson积分公式
% 输入函数，积分下界，积分上界，划分区间数
% 输出积分值
function I = fsimpson(f, a, b, n)h = (b-a)/n;x_m = linspace(a+h/2, b-h/2, n); % 中点x_b = linspace(a,b,n+1); % 边界点I = h/6*(f(a)+4*sum(f(x_m))+2*sum(f(x_b(2:n)))+f(b));
end

[!example]-
已知 $f(x)=\ln x$ 的部分点处的函数值如下表：
$$\begin{array}{cccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5\\ \ln x& 0& 0.6931& 1.0986& 1.3863& 1.6094\end{array}$$
分别用复化梯形公式和复化Simpson公式求${\int }_1^5\ln x\mathrm{d}x$的近似值，并估计误差。
解：
复化梯形：在区间 $[1,5]$ 上取
$$x_0=1,x_1=2,x_2=3,x_3=4,x_4=5$$
步长 $h=1$ 。
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx & \frac{h}{2}[f(a)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ & \\ T_4=& \frac{1}{2}(\ln 1+2\ln 2+2\ln 3+2\ln 4+\ln 5)\\ & \\ =& 3.9827\end{array}$$
$$|I-T_4|\le \frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{M}_2,M_2=\underset{1\le x\le 5}{\max }|{\ln }^{\prime \prime }x|=\underset{1\le x\le 5}{\max }|-\frac{1}{x^2}|=1$$
$$\therefore |I-T_4|\le \frac{(5-1{)}^3}{12\times 4^2}\times 1=0.3333$$
复化辛普森：在区间 $[1,5]$ 上取
$$x_0=1,x_{1-1/2}=2,x_1=3,x_{2-1/2}=4,x_2=5$$
步长 $h=2$ 。
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx & \frac{h}{6}[f(a)+4\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1/2})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ & \\ S_2=& \frac{2}{6}(\ln 1+4\ln 2+2\ln 3+4\ln 4+\ln 5)\\ & \\ =& 4.0414\end{array}$$
$$|I-S_2|\le \frac{(b-a{)}^5}{2880n^4}{M}_4$$
$$M_4=\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{(4)}(x)|=\underset{1\le x\le 5}{\max }|{\ln }^{(4)}x|=\underset{1\le x\le 5}{\max }|-\frac{6}{x^4}|=6$$
$$\therefore |I-S_2|\le \frac{(5-1{)}^5}{2880\times 2^4}\times 6=0.1333$$