算法导论复习——CHP25 多源最短路

问题描述

给定一个带权重的有向图G=(V,E)，其权重函数为ω:E→R。在图中，对所有的结点对 u,v∈V，找出从结点u到结点v的最短路径。该问题的解以表格（二维数组）的形式给出：第u行第v列给出从结点u到结点v的最短路径权重。

约定

1）结点编号：不失一般性，结点编号为1，2，…，|V|。

2）成本邻接矩阵：图G用一个n╳n的邻接矩阵W=(wij)表示，其中，

3）允许存在权重为负值的边，但不能包含权重为负值的环路，否则无解。
4）最短路径矩阵：算法的输出为一个n╳n的最短路径矩阵 D=(dij)，其中dij表示从结点i到结点j的一条最短路径的权重。算法结束时有dij=δ(i,j)。

5）前驱结点矩阵：前驱结点矩阵记为：П=(πij)，其中

利用前驱结点矩阵П可以计算出每对结点间的最短路径。前驱结点矩阵П的第i行所诱导的子图是一棵根结点为i的最短路径树。对于每个结点i∈V，定义图G对于结点i的前驱子图为 Gπ,i=(Vπ,i,Eπ,i)，其中

（见CHP24）

打印最短路的过程

动态规划做法

最短路径的最优子结构性质

每条路径都是最短路径：考虑从结点i到结点j的一条最短路径p。假定p至多包含m条边（假定没有权重为负值的环路），且m为有限值。

如果i=j，则p中不包含任何边，所以p的权重等于0；

如果i ≠ j，则将路径p分解为，其中 p ’至多包含 m-1 条边，则p ’是从i到k的一条最短路径，且δ(i,j)=δ(i,k)+Wkj。

递归解

设 $l_{ij}^{(m)}$ 是从结点i到结点j的至多包含m条边的任意路径中的最小权重。

则

自底向上解

(伪代码在给定W和L(m-1)的情况下计算L(m))

时间复杂度 $O(n^4)$

发现这个计算过程实际上很类似于矩阵乘法（几乎完全一样），可以用矩阵快速幂优化到 $O(n^3lgn)$ 。

另一种DP——Floyd-Warshall算法

算法允许图中存在负权重的边，但不能存在权重为负值的环路。

思路

假定图G的结点集为V={1,2,…,n}。考虑其中的一个子集 {1,2,…,k}，这里k是小于n的某个整数，并是其中的最大编号。对于任意一对结点i,j∈V，定义p是从i到j、且所有中间结点均取自于集合{1,2,…,k}的最短路径。

p是简单路径，且p的中间结点都不大于k。

p从i 到 j，仅经过集合{1,2,…,k}中的结点，但，

不一定经过其中的每一个结点；
也可能不存在这样的路径，此时p的权重等于∞。

在从 i 到 j 之间中间结点均取自集合{1,2,…,k-1}的基础上，试图回答这样一个问题：结点k是否是路径p上的一个中间结点？

1）如果结点k不是路径p上的中间结点，则p上的所有中间结点都属于集合{1,2,…,k-1}。此时，从结点i到结点j的中间结点取自集合{1,2,…,k-1}的一条最短路径也是从结点i到结点j的中间结点取自集合 {1,2,…,k}的一条最短路径。

2）如果结点k是路径p上的中间结点，则k将路径p分解为两段（如下图），最优子结构性，p1是从结点i到结点k的一条最短路径，且中间结点全部取自集合{1,2,…,k-1} 。因为结点k不是路径p1上的中间结点，所以路径p1上的所有结点都属于集合{1,2,…,k-1} 。同理，p2是从结点k到结点j的一条最短路径，且中间结点全部取自集合{1,2,…,k-1}

故有状态转移方程：

伪代码

时间复杂度 $O(n^3)$

加入最短路径构建

$\pi _{ij}^{(k)}$ 为从结点i到结点j的一条所有中间结点都取自集合 {1,2, …, k}的最短路径上j的前驱结点。

应用——计算传递闭包

定有向图G=(V,E)，定义图G的传递闭包G*=(V,E*)，其中 E*={(i,j)：如果图G中包含一条从结点i到结点j的路径}。

求有向图的传递闭包：方法一：给E中每条边赋权重1，然后运行FLOYD-WARSHALL算法，可以在Θ(n3)求出权重路径矩阵D。在D中若dij<n，则表示存在一条从结点i到结点j的路径；否则dij=∞。

        方法二：定义矩阵T ={tij}，若存在一条从结点i到结点j的路径，tij=1，否则tij=0。
                        计算T：
                                对FLOYD-WARSHALL算法进行改造：用逻辑或操作（V）和
                        逻辑与操作（Λ）替换算术操作min和+，得以下计算公式：