算法导论复习——CHP24 单源最短路

        单源最短路径问题: 给定一个图G =(V,E),找出从给定的源点s∈V到其它每个结点v∈V的最短路径。

        这样最短路径具有最优子结构性:两个结点之间的最短路径的任何子路径都是最短的

        基本概念

        负权边:权重为负值的边称为负权重的边。 如果存在负权重的边,则有可能存在权重为负值的环路, 而造成图中最短路径无定义(路径的权重为-∞)

        环路:最短路不应包含环路

        简单路径:不包含环路的路径称为简单路径。 对任何简单路径最多包含|V|-1条边和|V|个结点。 不失一般性,假设后续算法寻找的最短路径都不包含环路。

        前驱节点:v.π

        前驱子图:G_\pi= (V_\pi,E_\pi),其中

终止时,前驱子图是一颗最短路径树(包含了从源结点s到每个可以从s到达的结点的一条最短路径

        松弛操作(Relax)

        最短路径估计 

        对于每个结点v,维持一个属性v.d,记录从源点s到结点v的最短路径权重的上界。

        松弛 

        首先测试一下是否可以对从s到v的最短路径进行改善。如果可以改善,则v.d更新为新的最短路径估计值,v的前驱v.π更新为新的前驱结点。其中,测试指对s到v所经过的最后一个中 间结点u,按下列方式计算从s出发, 经过u而到达v的路径的权重: 将从结点s到结点u之间最短路 径加上结点u到v之间的边的权重, 然后与当前的s到v的最短路径估计 v.d进行比较,看有没有变小。如果 变小,则对v.d和v.π进行更新—— 这一操作就称为“松弛

        

        三角形不等式

        设G=(V,E)为一个带权重的有向图,其权重函数为 ω:E→R,设其源结点为s。那么对于所有的边(u,v)∈E,有:

         上界性质

        设G=(V,E)为一个带权重的有向图,其权重函数为 ω:E→R,设其源结点为s。对于所有的结点v∈V,v.d ≥ δ(s,v),并且该不变式在对图G的边进行任何次序的松弛过程中都保持成立,而一 旦v.d取得其下界 δ(s,v)后,将不再发生变化。

        非路径性质

        给定一个带权重的有向图G=(V,E),其权重函数 为ω:E→R。假定从源结点s到给定点v之间不存在路径,则该图在初始化后,有 v.d≥δ(s,v)=∞, 并且该等式作为不变式一直维持到图G的所有松弛操作结束。

        收敛性质

        设G=(V,E)为一个带权重的有向图,其权重函 数为ω:E→R。设s∈V为某个源结点, 为图G中的 一条最短路径(u,v∈V)。 如果在对边(u,v)进行松弛操作 之前的某时刻有u.d=δ(s,u),则在该松弛操作之后的所有时刻 有v.d=δ(s,v)

        路径松弛性质

        设G=(V,E)为一个带权重的有向图,其权重函数为ω:E→R。设s∈V为某个源结点,考虑从源结点s到结点vk 的任意一条最短路径p=<v_0,...,v_k>,v0=s。 如果图G进行了一系列边的松弛操作,其中包括对 边(v0 ,v1 )、 (v1 ,v2 )、…、 (vk-1 ,vk )按照所列次序而进行的松弛操作,则在所有这些松弛操作之后,有vk .d=δ(s,vk ),并且在此之后该等式一直保持。


Bellman-Ford算法

        可以有负权边,不能有负权环。

        可以查出负权环。

        

        时间复杂度O(VE) 

        

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