1.二次规划
1.1 二次规划的定义
若某非线性规划的目标函数为自变量 x x x的二次函数，且约束条件全是线性的，则称这种规划模型为二次规划。
1.2 二次规划的数学模型
min 1 2 x T H x + f T x \min \frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{T}}\boldsymbol{Hx}+\boldsymbol{f}^{\boldsymbol{T}}\boldsymbol{x} min21xTHx+fTx
s . t . { A x ⩽ b A e q ⋅ x = b e q l b ⩽ x ⩽ u b s.t.\left\{ \begin{array}{c} \boldsymbol{Ax}\leqslant \boldsymbol{b}\\ Aeq\cdot \boldsymbol{x}=beq\\ lb\leqslant \boldsymbol{x}\leqslant ub\\ \end{array} \right. s.t.⎩ ⎨ ⎧Ax⩽bAeq⋅x=beqlb⩽x⩽ub
式中： H \boldsymbol{H} H为实对称矩阵； f \boldsymbol{f} f, b \boldsymbol{b} b, b e q , l b , u b beq,lb,ub beq,lb,ub为列向量； A \boldsymbol{A} A, q q q为相应维数的矩阵。
1.3 二次规划的matlab求解
MATLAB中求解二次规划的命令是
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
其中， x 0 x0 x0是向量 x \boldsymbol{x} x的初始值.
2.案例分析
用MATLAB求解如下二次规划：
min f ( x ) = 2 x 1 2 − 4 x 1 x 2 + 4 x 2 2 − 6 x 1 − 3 x 2 \min f\left( x \right) =2x_{1}^{2}-4x_1x_2+4x_{2}^{2}-6x_1-3x_2 minf(x)=2x12−4x1x2+4x22−6x1−3x2
s . t . { x 1 + x 2 ⩽ 3 4 x 1 + x 2 ⩽ 9 x 1 , x 2 ⩾ 0 s.t.\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2\leqslant 3\\ 4x_1+x_2\leqslant 9\\ x_1,x_2\geqslant 0\\ \end{array} \right. s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+x2⩽34x1+x2⩽9x1,x2⩾0
解：先看目标函数中的二次项：
2 x 1 2 − 4 x 1 x 2 + 4 x 2 2 = 1 2 [ x 1 , x 2 ] [ 4 − 4 − 4 8 ] [ x 1 x 2 ] 2x_{1}^{2}-4x_1x_2+4x_{2}^{2}=\frac{1}{2}\left[ x_1,x_2 \right] \left[ \begin{matrix} 4& -4\\ -4& 8\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] 2x12−4x1x2+4x22=21[x1,x2][4−4−48][x1x2]
所以 H = [ 4 − 4 ; − 4 8 ] \boldsymbol{H}=\left[ \begin{matrix} 4& -4 ;\\ -4& 8 \\ \end{matrix} \right] H=[4−4−4;8]
再看目标函数中的一次项：
− 6 x 1 − 3 x 2 = [ − 6 − 3 ] [ x 1 x 2 ] -6x_1-3x_2=\left[ -6 -3 \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] −6x1−3x2=[−6−3][x1x2]
所以
f = [ − 6 − 3 ] f=\left[ \begin{array}{c} -6\\ -3\\ \end{array} \right] f=[−6−3]
接下来编写matlab代码：
H=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
A=[1,1;4,1];
b=[3;9];
lb=zeros(2,1);
x0=rand(2,1);
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],x0)
求解结果：
