【数据分析】指数移动平均线的直观解释

一、介绍

在时间序列分析中，通常需要通过考虑先前的值来了解序列的趋势方向。序列中下一个值的近似可以通过多种方式执行，包括使用简单基线或构建高级机器学习模型。

指数（加权）移动平均线是这两种方法之间的稳健权衡。在幕后有一个简单的递归方法可以有效地实现该算法。同时，它非常灵活，可以成功适应大多数类型的序列。

本文介绍了该方法背后的动机、其工作流程和偏差校正的描述——一种克服近似中偏差障碍的有效技术。

二、动机

想象一个近似随时间变化的给定参数的问题。在每次迭代中，我们都知道它之前的所有值。目标是根据先前的值来预测下一个值。

一种幼稚的策略是简单地取最后几个值的平均值。这在某些情况下可能有效，但不太适合参数更依赖于最新值的情况。

克服此问题的可能方法之一是将较高的权重分配给较新的值，并将较少的权重分配给先前的值。指数移动平均线正是遵循这一原则的策略。它基于这样的假设：变量的较新值比先前值对下一个值的形成贡献更大。

三、公式

为了理解指数移动平均线的工作原理，让我们看看它的递归方程：

指数移动平均公式

vₜ 是近似给定变量的时间序列。它的索引 t 对应于时间戳 t。由于该公式是递归的，因此需要初始时间戳 t = 0 的值 v₀。实际中，v₀通常取0。
θ 是当前迭代的观测值。
β 是一个介于 0 和 1 之间的超参数，定义权重重要性应如何在先前平均值 vₜ-₁ 和当前观测值 θ 之间分布

让我们为前几个参数值写下这个公式：

第t个时间戳的获取公式

结果，最终的公式如下所示：

第 t 个时间戳的指数移动平均值

我们可以看到，最近的观测值 θ 的权重为 1，倒数第二个观测值 — β，倒数第三个 — β² 等。由于 0 < β < 1，乘法项 βᵏ 随着 k 的增加呈指数下降，因此，观察结果越旧，它们就越不重要。最后，将每个总和项乘以 (1 -β)。

实际上，β 的值通常选择接近 0.9。

不同时间戳的权重分布（β = 0.9）

四、数学解释

利用数学分析中著名的第二奇妙极限，可以证明以下极限：

通过替换 β = 1 - x，我们可以将其重写为以下形式：

我们还知道，在指数移动平均值的方程中，每个观测值都乘以项 βᵏ，其中 k 表示计算观测值之前的时间戳。由于两种情况下的底数 β 相等，因此我们可以使两个公式的指数相等：

通过使用这个方程，对于选定的 β 值，我们可以计算权重项达到值 1 / e ≈ 0.368 所需的时间戳 t 的近似数量。这意味着在最后 t 次迭代中计算的观测值具有大于 1 / e 的权重项，而在最后 t 次时间戳范围内计算出的更先例的权重项则低于 1 / e，其重要性要小得多。

实际上，低于 1 / e 的权重对指数加权平均值的影响很小。这就是为什么说对于给定的 β 值，指数加权平均值会考虑最后 t = 1 / (1 - β) 观测值。

为了更好地理解该公式，让我们为 β 代入不同的值：

例如，取 β = 0.9 表示大约在 t = 10 次迭代中，与当前观测值的权重相比，权重衰减至 1 / e。换句话说，指数加权平均值主要取决于最后 t = 10 个观测值。

五、偏差校正

使用指数加权平均值的常见问题是，在大多数问题中，它不能很好地近似第一个系列值。发生这种情况的原因是第一次迭代时缺乏足够的数据。例如，假设我们给出以下时间序列：

目标是用指数加权平均值来近似它。然而，如果我们使用正常公式，那么前几个值将对 v₀ 施加很大的权重，即 0，而散点图上的大多数点都在 20 以上。因此，第一个加权平均值的序列将太低精确地近似原始序列。

其中一个简单的解决方案是采用接近第一个观测值 θ1 的 v0 值。尽管这种方法在某些情况下效果很好，但它仍然不完美，特别是在给定序列不稳定的情况下。例如，如果 θ2 与 θ1 差异太大，则在计算第二个值 v2 时，加权平均值通常会比当前观测值 θ2 更重视先前趋势 v1。结果，近似值将非常差。

一种更灵活的解决方案是使用一种称为“偏差校正”的技术。它们不是简单地使用计算值 vₖ，而是除以 (1 —βᵏ)。假设选择的 β 接近 0.9-1，则对于 k 较小的第一次迭代，该表达式趋于接近 0。因此，现在不是慢慢累加 v₀ = 0 的前几个值，而是将它们除以相对较小的数字，将它们缩放为更大的值。