算法训练day56|动态规划part16

583. 两个字符串的删除操作

逆向思路:求最长公共子序列,在用总长度-2*公共子序列长度

正向思路:删除多少

1. dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的字符串word1,和以j-1位结尾的字符串word2,想要达到相等,所需要删除元素的最少次数

2. 递推公式

  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,有三种情况:

情况一:删word1[i - 1],最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二:删word2[j - 1],最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三:同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

递推公式可简化为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了,那么我在删 word1[i - 1],是不是就达到两个元素都删除的效果,即 dp[i][j-1] + 1

4. 遍历顺序

 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算

// dp数组中存储需要删除的字符个数
class Solution {public int minDistance(String word1, String word2) {int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];}else{dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));}}}return dp[word1.length()][word2.length()];}
}

72. 编辑距离

与之前题目重点区别是:递推公式:有三种改法

重点思路:最后两个相同,并不是某一个一定要变成另一个,所以增加和删减其实是相同的。长的变短其实就是短的增加变成

dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]

2. 递推公式:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])增删换

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了,那么就不用编辑了,以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了

  • 操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

  • 操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a"word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad" 最终的操作数是一样! dp数组如下图所示意的:

            a                         a     d+-----+-----+             +-----+-----+-----+|  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |+-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |+-----+-----+             +-----+-----+-----+d |  2  |  1  |+-----+-----+

操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。

可以回顾一下,if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3. 初始化:

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢?

dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

4.遍历顺序

  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:

72.编辑距离

public int minDistance(String word1, String word2) {int m = word1.length();int n = word2.length();int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// 初始化for (int i = 1; i <= m; i++) {dp[i][0] =  i;}for (int j = 1; j <= n; j++) {dp[0][j] = j;}for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 因为dp数组有效位从1开始// 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];} else {dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;}}}return dp[m][n];
}

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