线性方程组的迭代解法

2024年1月1日
#analysis

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基本迭代法

Jacobi迭代

$$A=D-L-U$$
$$D{x}^{(k+1)}=(L+U)x^{(k)}+b$$
$$B_j=D^{-1}(L+U)=I-D^{-1}A$$
matlab实现

%% 迭代法例子
A = [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b = [1 8 -5]';
[x,i] = jacobi(A,b,1e-5,10000)%% Jacobi迭代
% 输入矩阵A，向量b，精度，最大迭代次数
% 输出解向量x，迭代次数i
function [x,i] = jacobi(A,b,eps,max_iter)D = diag(diag(A));L = D-tril(A);U = D-triu(A);x = zeros(size(b)); %!for i = 1:max_iterx = D\(b+L*x+U*x);err = norm(b-A*x)/norm(b); %!if err<epsbreak;endend
end

高斯-赛德尔（GS）迭代

$$A=D-L-U$$
$$(D-L)x^{(k+1)}=U{x}^{(k)}+b$$
$$B_{gs}=(D-L{)}^{-1}U=I-(D-L{)}^{-1}A$$
matlab实现

%% 迭代法例子
A = [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b = [1 8 -5]';
[x,i] = GS(A,b,1e-5,10000)%% GS迭代
% 输入矩阵A，向量b，精度，最大迭代次数
% 输出解向量x，迭代次数i
function [x,i] = GS(A,b,eps,max_iter)D = diag(diag(A));L = D-tril(A);U = D-triu(A);x = zeros(size(b)); %!for i = 1:max_iterx = (D-L)\(b+U*x);err = norm(b-A*x)/norm(b); %!if err<epsbreak;endend
end

SOR迭代

$$A=D-L-U$$
$$x^{(k+1)}=x^{(k)}+\omega D^{-1}(L{x}^{(k+1)}+U{x}^{(k)}-D{x}^{(k)}+b)$$
$$x^{(k+1)}=(D-\omega L{)}^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]x^{(k)}+\omega (D-\omega L{)}^{-1}b$$
$$B_{SOR}=(D-\omega L{)}^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]$$
matlab实现

%% 迭代法例子
A = [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b = [1 8 -5]';
[x,i] = SOR(A,b,1e-5,10000,1.1)%% SOR迭代
% 输入矩阵A，向量b，精度，最大迭代次数
% 输出解向量x，迭代次数i
function [x,i] = SOR(A,b,eps,max_iter,w)D = diag(diag(A));L = D-tril(A);U = D-triu(A);x = zeros(size(b)); %!for i = 1:max_iterx = (D-w*L)\(((1-w)*D+w*U)*x + w*b);err = norm(b-A*x)/norm(b); %!if err<epsbreak;endend
end

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迭代的收敛性分析和误差估计

排列矩阵 每行每列仅有唯一非零元的方阵。
可约矩阵 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $n\ge 2$ ，如果存在 $n$ 阶排列矩阵 $P$ ，使得
$$P^{\mathrm{T}}AP=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right]$$
其中 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 分别为 $r$ 阶和 $n-r$ 阶方阵， $1\le r\le n-1$ ，则称 $A$ 为可约矩阵，否则为不可约矩阵。
对角占优矩阵 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，满足
$$|a_{ii}|\ge \sum _{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|,i=1,2,\cdots ,n$$
即对角元素大于等于该行其他元素的和，如果 $A$ 中至少有一行使不等式严格成立，则称A为弱对角占优矩阵，如果每一行都使不等式严格成立，则称 $A$ 为严格行对角占优矩阵。

一些定理

• 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵，则 $A$ 是非奇异矩阵
• $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂 $A^k\to 0$ 的充要条件为谱半径 $\rho (A)<1$
• 任一矩阵 $A$ 的谱半径均不大于 $A$ 的任一与某一向量范数相容的矩阵范数，即 $\rho (A)\le ||A||$
• 对于迭代格式
  $$x^{(k+1)}=B{x}^{(k)}+g$$
  给定任意的初值 $x^{(0)}$ ，有下列收敛结果和误差估计0
  1. 迭代格式收敛的充要条件为谱半径 $\rho (B)<1$
  2. 如果 $||B||<1$ ，则有估计
     $$\begin{array}{rl}||x^{(k)}-x^{\ast }||\le & \frac{||B|{|}^k}{1-||B||}||x^{(1)}-x^{(0)}||\\ & \\ ||x^{(k)}-x^{\ast }||\le & \frac{||B||}{1-||B||}||x^{(k)}-x^{(k-1)}||\end{array}$$
• 若 $A$ 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵，则Jacobi迭代和GS迭代都收敛
• 若 $A$ 对称正定，则Jacobi迭代收敛的充要条件为 $2D-A$ 也是对称正定矩阵
• SOR迭代收敛的必要条件为 $1<\omega <2$
• 系数矩阵 $A$ 对称正定，则 $0<\omega <2$ 时SOR迭代收敛

例题看同济《现代数值计算》习题6.6。

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下链

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