动机

• 之前【三步走】的学习方法

  • 估计问题特性（如分布）
  • 做出模型假设
    • LSE，Decision Tree，MAP，MLE，Naive Bayes ，…
  • 找到最优的参数

• 有没有一种学习方法**不遵循【模型假设+参数估计】

• 人们通过记忆和行动来推理学习

• 思考即回忆、进行类比Thinking is reminding,making analogies

• One takes the behavior of one’s company[近朱者赤，近墨者黑]

基本概念

• 参数化(Parametric) vs.非参数化(Non-parametric)

  • 参数化：
    • 设定一个特定的函数形式
    • 优点：简单，容易估计和解释
    • 可能存在很大的偏置：实际的数据分布可能不遵循假设的分布

• 非参数化：

  • 分布或密度的估计是数据驱动的(data-driven)
  • 需要事先对函数形式作的估计相对更少

• Instance-Based Learning (IBL):基于实例的学习
  or Instance Based Methods (IBM):基于实例的方法

• Memory-Based Learning :基于记忆的学习

• Case-Based Learning :基于样例的学习

• Similarity-Based Learning :基于相似度的学习

• Case-Based Reasoning :基于样例的推理

• Memory-Based Reasoning :基于记忆的推理

• Similarity-Based Reasoning :基于相似度的推理

基于实例的学习

• 无需构建模型一一仅存储所有训练样例
• 直到有新样例需要分类才开始进行处理
  

基于实例的概念表示

• 一个概念$c_i$可以表示为:
  • 样例的集合 c i = { e i 1 , e i 2 , . . . } c_i = \{e_{i1}, e_{i2},...\} ci​={ei1​,ei2​,...},
  • 一个相似度估计函数$f$,以及
  • —个阈值0
• 一个实例’a’属于概念$c_i$,当
  • 'a’和c_i的某些e_j相似，并且
  • $f(e_j,a)>\theta$。

1. 最近邻

• $相似度\leftarrow \to 距离$
  

最近邻的例子

信用评分
分类：好/坏
特征：

• L = 延迟还款/年
• R =收入/花销

name	L	R	G/P
A	0	1.2	G
B	25	0.4	P
C	5	0.7	G
D	20	0.8	P
E	30	0.85	P
F	11	1.2	G
G	7	1.15	G
H	15	0.8	P

name	L	R	G/P
I	6	1.15	?
J	22	0.45	?
K	15	1.2	?

距离度量：

• 缩放距离 $\sqrt{(L_1-L_2{)}^2+(10R_1-10R_2{)}^2}$

理论结果

• 无限多训练样本下1-NN的错误率界限：
  $$Err(Bytes)\le Err(1-NN)\le Err(Bytes)\left(2-\frac{K}{K-1}Err(Bayes)\right)$$
• 证明很长（参照Duda et al, 2000）
• 因此1-NN的错误率不大于Bayes方法错误率的2倍

最近邻（1- NN）:解释

• Voronoi Diagram

• Voronoi tessellation

• 也称为 Dirichlet tessellation

• Voronoi decomposition

• 对于任意欧氏空间的离散点集合S,以及几乎所有的点x, S中一定有一个和x最接近的点

  • -没有说“所有的点”是因为有些点可能和两个或多个点距离相等（在边界上）

问题

• 最近邻的点是噪音怎么办？
• 解决方法
  • 用不止一个邻居
  • 在邻居中进行投票 $\to$k-近邻（KNN)

K-近邻(KNN)

KNN:示例(3-NN)

顾客	年龄	收入(K)	卡片数	结果	距David距离
John	35	35	3	No	$\sqrt{(35-27{)}^2+(35-50{)}^2+(3-2{)}^2}=15.16$
Mary	22	50	2	Yes	$\sqrt{(22-37{)}^2+(50-50{)}^2+(2-2{)}^2}=15$
Hannah	63	200	1	No	$\sqrt{(63-37{)}^2+(200-50{)}^2+(1-2{)}^2}=152.23$
Tom	59	170	1	No	$\sqrt{(59-37{)}^2+(170-50{)}^2+(1-2{)}^2}=122$
Nellie	25	40	4	Yes	$\sqrt{(25-37{)}^2+(40-50{)}^2+(4-2{)}^2}=15.74$
David	37	50	2	Yes	-

KNN讨论1 ：距离度量

• Minkowski或$L_{\lambda }$度量: $$d(i,j)={\left(\sum _{k=1}^p|x_k(i)-x_k(j){|}^{\lambda }\right)}^{\frac{1}{\lambda }}$$
• 欧几里得距离$(\lambda =2)$ $$d_{ij}=\sqrt{\sum _{k=1}^p(x_{ik}-x_{jk}{)}^2}$$
• 曼哈顿距离 Manhattan Distance
  城市街区距离City block Dis.
  出租车距离 Taxi Distance
  或L₁度量($\lambda =1$): $$d(i,j)=\sum _{k=1}^p|x_k(i)-x_k(j)|$$
  
• •切比雪夫距离(Chebyshev Distance)
  棋盘距离(Chessboard Dis.)
  $L_{\infty }$
  $$d(i,j)=\underset{k}{\max }|x_k(i)-x_k(j)|$$
• 加权欧氏距离
  Mean Censored Euclidean
  Weighted Euclidean Distance
  $$\sqrt{\sum _k(x_{jk}-x_{jk}{)}^2/n}$$
• • Bray-Curtis Dist $$\sum _k|x_{jk}-x_{jk}|/\sum _k(x_{jk}-x_{jk})$$
• •堪培拉距离C anberra Dist.$$\frac{{\sum }_k|x_{jk}-x_{jk}|/(x_{jk}-x_{jk})}{k}$$

KNN 讨论2：属性

• 邻居间的距离可能被某些取值特别大的属性所支配
  • e.g.收入 $Dis(John,Rachel)=\sqrt{(35-45{)}^2+(95000-215000{)}^2+(3-2{)}^2}$
    -对特征进行归一化是非常重要的(e.g.,把数值归一化到[0-1])
  • Log, Min-Max, Sum,…

KNN:属性归一化

顾客	年龄	收入(K)	卡片数	结果
John	35/63=0.55	35/200=0.175	3/4=0.75	No
Mary	22/63=0.34	50/200=0.25	2/4=0.5	Yes
Hannah	63/63=1	200/200=1	1/4=0.25	No
Tom	59/63=0.93	170/200=0.85	1/4=0.25	No
Nellie	25/63=0.39	40/200=0.2	4/4=1	Yes
David	37/63=0.58	50/200=0.25	2/4=0.5	Yes

KNN:属性加权

• 一个样例的分类是基于所有属性的
  • 与属性的相关性无关——无关的属性也会被使用进来
• 根据每个属性的相关性进行加权 e.g $$d_{WE}(i,j)={\left(\sum _{k=1}^p{w}_k(x_k(i)-x_k(j){)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$
• **在距离空间对维度进行缩放 **
  • w_k = 0 $\to$消除对应维度(特征选择)
    •一个可能的加权方法：
    使用互信息/(属性,类别）
    $I(X,Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$ H:熵(entropy)
    $H(X,Y)=-\sum p(x,y)logp(x,y)$ 联合熵 (joint entropy)

KNN讨论3:连续取值目标函数

• 离散输出-投票
• 连续取值目标函数
  • k个近邻训练样例的均值
    $$红色：实例的真实值蓝色：估计值$$
    

KNN讨论4 : k的选择

• 多数情况下k=3
• 取决于训练样例的数目
  • 更大的k不一定带来更好的效果
• 交叉验证
  • Leave-one-out (Throw-one-out, Hold-one-out)
    • 每次：拿一个样例作为测试，所有其他的作为训练样例
• KNN是稳定的
  • 样例中小的混乱不会对结果有非常大的影响

KNN讨论5：打破平局

• 如果k=3并且每个近邻都属于不同的类 ?
  • P(W|X)=1/3 尸2
  • 或者找一个新的邻居(4^th)
  • 或者取最近的邻居所属类
  • 或者随机选一个
  • 或者 …

「之后会讨论一个更好的解决方案

KNN 讨论 6: 关于效率

• KNN算法把所有的计算放在新实例来到时，实时计算开销大
• 加速对最近邻居的选择
  • 先检验临近的点
  • 忽略比目前找到最近的点更远的点
• 通过 KD-tree 来实现：
  • KD-tree: k 维度的树 (数据点的维度是 k)
  • 基于树的数据结构
  • 递归地将点划分到和坐标轴平行的方形区域内

KD-Tree: ( 1) 构建

• 从一系列数据点出发
  
  |Pt|X|Y|
  | – | – | – |
  |1 | 0.00|0.00|
  |2 | 1.00 | 4.31|
  |3 | 0.13 | 2.85 |
  | … | … | …|

• • 我们可以选择一个维度 X 和分界值 V 将数据点分为两组： X > V 和 X <= V
    
• 接下来分别考虑每个组，并再次分割(可以沿相同或不同的维度)
  
• 持续分割每个集合中的数据点， 从而构建一个树形结构
  每个叶节点表示为一系列数据点的列表
  

在每个叶节点维护一个额外信息：这个节点下所有数据点的 (紧) 边界

用启发式的方法去决定如何分割

• 沿哪个维度分割？
  • 范围最宽的维度
• 分割的值怎么取？
  • 数据点在分割维度的中位数
  • 为什么是「中位数」而不是「均值」？
• 什么时候停止分割？
  • 当剩余的数据点少于 m，或者
  • 区域的宽度达到最小值

KD-Tree: ( 2) 查询

• 遍历树，来查找所查询数据点的最近邻居
  
• 先检验临近的点 ：关注距离所查询数据点最近的树的分支
  
  
• 达到一个叶节点后 ：计算节点中每个数据点距离目标点的距离
  
  

接着回溯检验我们访问过的每个树节点的另一个分支

• 每次我们找到一个最近的点，就更新距离的上界
  
• 利用这个最近距离以及每个树节点下数据的边界信息，
  我们可以对一部分不可能包含最近邻居的分支进行剪枝
  
  
  

KNN 总览：优点与缺点

优点

• 概念上很简单，但可以处理复杂的问题(以及复杂的目标函数)
  • e.g. 图片分类
• 通过对k-近邻的平均， 对噪声数据更鲁棒
• 容易理解 ：预测结果可解释(最近邻居)
• 训练样例中呈现的信息不会丢失
  • 因为样例本身被显式地存储下来了
• 实现简单、稳定、没有参数(除了 k)
• 方便进行 leave-one-out 测试

缺点

• 内存开销
  • 需要大量的空间存储所有样例
  • 通常来说，需要存储任意两个点之间的距离 O(n²) ； K-DTrees O(nlogn)
• CPU 开销
  • 分类新样本需要更多的时间(因此多用在离线场景)
• 很难确定一个合适的距离函数
  • 特别是当样本是由复杂的符号表示时
• 不相关的特征 对距离的度量有负面的影响

下一个问题

• 回忆：用多个邻居使得对噪声数据鲁棒
  这些邻居的贡献是一样的吗？
• 解决方案
  • 对数据加权
  • 更接近所查询数据点的邻居赋予更大的权$\to$距离加权近邻

距离加权 KNN (Distance-weighted KNN)

距离加权 KNN

• 一种加权函数
  • w_i = K(d(x_i, x_q))
  • d(x_i, x_q) ：查询数据点与 x_i 之间的关系
  • K( ·) ：决定每个数据点权重的核函数
• 输出: 加权平均： $predict=\sum w_i{y}_i/\sum w_i$
• 核函数 K(d(x_i, x_q))
  • 1/d², $e^{-d}$, 1/(1+d), … 应该和距离 d 成反比

回顾

距离加权 NN

基于实例/记忆的学习器： 4 个要素

1. 一种距离度量
2. 使用多少个邻居？
3. 一个加权函数(可选)
4. 如何使用已知的邻居节点？

1-NN

基于记忆的学习器：4 个要素

1. 一种距离度量 欧式距离
2. 使用多少个邻居？ 一个
3. 一个加权函数(加权) 无
4. 如何使用已知的邻居节点？ 和邻居节点相同

K-NN

基于记忆的学习器：4 个要素

1. 一种距离度量 欧式距离
2. 使用多少个邻居？ K 个
3. 一个加权函数(加权) 无
4. 如何使用已知的邻居节点？ K 个邻居节点投票

距离加权 KNN

基于记忆的学习器： 4 个要素

1. 一种距离度量 缩放的欧式距离
2. 使用多少个邻居？ 所有的，或K 个
3. 一个加权函数(可选)
   $w_i=exp(-D(x_i,query{)}^2/K_w^2)$
   K_w ：核宽度。非常重要
4. 如何使用已知的邻居节点？每个输出的加权平均 $predict=\sum w_i{y}_i/\sum w_i$

扩展：局部加权回归 (Locally weighted regression)

• 回归：对实数值目标函数做估计/预测
• 局部： 因为函数的估计是基于与所查询数据点相近的数据
• 加权：每个数据点的贡献由它们与所查询数据点的距离决定

局部加权回归 (例子)

局部加权回归

基于记忆的学习器：4 个要素

1. 一种距离度量 缩放的欧式距离
2. 使用多少个邻居？ 所有的，或K 个
3. 一个加权函数(可选)
   e.g. $w_i=exp(-D(x_i,query{)}^2/K_w^2)$
   K_w ：核宽度。非常重要
4. 如何使用已知的邻居节点？
5. 首先构建一个局部的线性模型。拟合 $\beta$ 最小化局部的加权平方误差和: $$\underline{\beta }=\underset{\beta }{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^N{w}_k^2(y_k-{\beta }^T{x}_k{)}^2$$
   那么 $y_{predict}={\underline{\beta }}^T{x}_{query}$

真实测试样例下 不同基于实例的算法表现举例

线性回归

• 连接所有点
  

1- 近邻

K -近邻（k=9）

距离加权回归（核回归）

选择一个合适的 K_w 非常重要，不仅是对核回归，对所有局部加权学习器都很重要

局部加权回归

懒惰学习与贪婪学习 Lazy learner and Eager Learner

不同的学习方法

• 贪婪学习
  
• 懒惰学习 (例如基于实例的学习)
  

懒惰学习vs. 贪婪学习

懒惰

• 懒惰 ：等待查询再泛化

  • 训练时间 ：短
  • 测试时间 ：很长

• 懒惰学习器

  • 可以得到局部估计

贪婪

• 贪婪 ：查询之前就泛化

  • 训练时间 ：长
  • 测试时间：短

• 贪婪学习器

  • 对于每个查询使用相同的模型
  • 倾向于给出全局估计

如果它们共享相同的假设空间，懒惰学习可以表示更复杂的函数
( e.g. H=线性函数)

基于实例的学 习总结

• 基本概念与最近邻方法
• K近邻方法
  • 基本算法
  • 讨论：更多距离度量；属性：归一化、加权；连续取值目标函数； k 的选择；打破平局；关于效率(K-Dtree的构建与查询)
• 距离加权的KNN
• 基于实例的学习器的四要素
• 扩展：局部加权回归
• 真实测试样例下的算法表现举例
• 懒惰学习与贪婪学习