35.期末复习

1. 已知一个矩阵$A$满足$A\vec{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$无解且$A\vec{x}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$仅有一个解

   (1)求$A$的行、列和秩

   (2)判断正误：①$A{A}^T$是正定矩阵

   ​       ②$A^{T}A$可逆

   ​       ③$A^{T}A$和$A{A}^T$的行列式相等

   (3)证明$A^T\vec{y}=\vec{c}$对于任意$\vec{c}$都至少有一个解

   $Ans$：(1)易得$m=3$

   ​    因为$A\vec{x}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$仅有一个解，所以$n=r<m$，因而$n=r=1$或$n=r=2$

   ​    (2)①错误，$A{A}^T$的秩和$A$一致，小于$3$，而$A{A}^T$为$3$阶方阵，所以$A{A}^T$不可逆，不可能为正定矩阵

   ​     ②正确，$A^{T}A$的零空间和$A$一致，而$A$的$n=r$，零空间中只有$\vec{0}$，所以$A^{T}A$可逆

   ​     ③错误，$A^{T}A$可逆而$A{A}^T$不可逆，二者行列式肯定不相等

   ​    (3)因为$A$的列线性无关，所以$A^T$的行线性无关，因而$A^T\vec{y}=\vec{c}$对于任意$\vec{c}$都至少有一个解

2. 已知一个马尔可夫矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.4& 0.3\\ 0.4& 0.2& 0.3\\ 0.4& 0.4& 0.4\end{array}\right]$，有${\vec{u}}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 10\\ 0\end{array}\right],{\vec{u}}_k=A^k{\vec{u}}_0$,求${\lim }_{k\to +\infty }{\vec{u}}_k$

   $Ans$：$A$的第一二列之和为第三列的两倍，所以$A$的列线性相关，$A$不可逆，有一个特征值为$0$

   ​    因为$A$是马尔可夫矩阵，所以还有一个特征值为$1$，最后一个特征值是$(0.2+0.2+0.4)-0-1=-0.2$

   ​    所以${\vec{u}}_k=c_1{\lambda }_1^k{\vec{x}}_1+c_2{\lambda }_2^k{\vec{x}}_2+c_3{\lambda }_3^k{\vec{x}}_3=c_2{\vec{x}}_2+c_3(-0.2{)}^k{\vec{x}}_3$

   ​    又${\lim }_{k\to +\infty }(-0.2{)}^k=0$，所以${\lim }_{k\to +\infty }{\vec{u}}_k=c_2{\vec{x}}_2$

   ​    有$A-I=\left[\begin{array}{ccc}-0.8& 0.4& 0.3\\ 0.4& -0.8& 0.3\\ 0.4& 0.4& -0.6\end{array}\right]$，第一二列之和为第三列的$-\frac{4}{3}$，所以$\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right]$在它的零空间中

   ​    又刚好$3+3+4=0+10+0$，所以$c_2=1,{\lim }_{k\to +\infty }{\vec{u}}_k=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right]$（因为乘上马尔可夫矩阵不会改变元素和）

3. 求特征值为$0,3$，且对应特征向量分别为$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$的二阶矩阵

   $Ans$：该二阶矩阵为$S\Lambda S^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& -1\end{array}\right]$

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