PINNs解麦克斯韦方程

1 问题介绍

麦克斯韦方程控制着光的传播及其与物质的相互作用。因此，利用计算电磁学模拟求解麦克斯韦方程对理解光与物质相互作用和设计光学元件起着至关重要的作用。对于线性、非磁性、各向同性材料没有电、磁电流密度的方程通常可以写成如下形式：

2 物理驱动深度学习方法简介

神经网络作为一种强大的信息处理工具在计算机视觉、生物医学、油气工程领域得到广泛应用, 引发多领域技术变革.。深度学习网络具有非常强的学习能力, 不仅能发现物理规律, 还能求解偏微分方程。近年来，基于深度学习的偏微分方程求解已是研究新热点。内嵌物理知识神经网络(PINN)是一种科学机器在传统数值领域的应用方法，能够用于解决与偏微分方程 (PDE) 相关的各种问题，包括方程求解、参数反演、模型发现、控制与优化等。受PINN启发，可以将物理损失引入代理模型中代替模型的监督损失项，由此提出了物理驱动的神经网络代理模型

3 PINN方法

PINN的主要思想如图1，先构建一个输出结果为 u^\hat{u}\hat{u} 的神经网络，将其作为PDE解的代理模型，将PDE信息作为约束，编码到神经网络损失函数中进行训练。损失函数主要包括4部分：偏微分结构损失(PDE loss)，边值条件损失(BC loss)、初值条件损失(IC loss)以及真实数据条件损失(Data loss)。

4 物理驱动的神经网络代理模型

基于物理驱动的神经网络代理模型。深度学习模型，输入为相对介质常数分布，输出为三维的electric field vector分布。物理驱动深度学习方法具体步骤为

首先，定义求解预上的CNN模型。这里主要采用Unet网络。
定义训练集上的损失函数，这里主要考虑物理损失项，也可以加上数据损失项。物理损失项主要通过麦克斯韦方程所定义，微分算子可由不同阶数的差分格式表示，再利用不同卷积操作快速计算。
利用梯度下降算法，最小化损失函数，训练网络得到不同介质常数分布下的electric field。