二分查找——OJ题(一)

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文章目录

  • 一、二分查找
    • 1、题目讲解
    • 2、算法原理
    • 3、代码实现
  • 二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
    • 1、题目讲解
    • 2、算法原理
    • 3、代码实现
  • 三、X的平方根
    • 1、题目讲解
    • 2、算法原理
    • 3、代码实现
  • 四、搜索插入位置
    • 1、题目讲解
    • 2、算法原理
    • 3、代码实现


一、二分查找

1、题目讲解

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2、算法原理

a. 定义 left , right 指针,分别指向数组的左右区间。
b. 找到待查找区间的中间点 mid ,找到之后分三种情况讨论:
i. arr[mid] == target 说明正好找到,返回 mid 的值;
ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的,因此舍去右边区间,在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找,即让 right = mid - 1 ,然后重复 2 过程;
iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的,因此舍去左边区间,在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找,即让 left = mid + 1 ,然后重复 2 过程;
c. 当 left 与 right 错开时,说明整个区间都没有这个数,返回 -1 。

3、代码实现

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else if(nums[mid]>target )right=mid-1;else return mid;}return -1;}
};

二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

1、题目讲解

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2、算法原理

⽤的还是⼆分思想,就是根据数据的性质,在某种判断条件下将区间⼀分为⼆,然后舍去其中⼀个区间,然后再另⼀个区间内查找;
⽅便叙述,⽤ x 表⽰该元素, resLeft 表⽰左边界, resRight 表⽰右边界。
寻找左边界思路:
• 寻找左边界:
◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点:
▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的;
▪ 右边区间(包括左边界) [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的;
• 因此,关于 mid 的落点,我们可以分为下⾯两种情况:
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候,也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的,此时更新 left 到 mid + 1 的位置,
继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界;
◦ 当 mid 落在 [resLeft, right] 的区间的时候,也就是 arr[mid] >= target 。
说明 [mid + 1, right] (因为 mid 可能是最终结果,不能舍去)是可以舍去的,此时
更新 right 到 mid 的位置,继续在 [left, mid] 上寻找左边界;
• 由此,就可以通过⼆分,来快速寻找左边界;
注意:这⾥找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候:
• 左指针: left = mid + 1 ,是会向后移动的,因此区间是会缩⼩的;
• 右指针: right = mid ,可能会原地踏步(⽐如:如果向上取整的话,如果剩下 1,2 两个元
素, left == 1 , right == 2 , mid == 2 。更新区间之后, left,right,mid 的
值没有改变,就会陷⼊死循环)。
因此⼀定要注意,当 right = mid 的时候,要向下取整。

寻找右边界思路:
• 寻右左边界:
◦ ⽤ resRight 表⽰右边界;
◦ 我们注意到右边界的特点:
▪ 左边区间 (包括右边界) [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的;
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的;
• 因此,关于 mid 的落点,我们可以分为下⾯两种情况:
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候,说明 [left, mid - 1]( mid 不可以舍去,因为有可能是最终结果) 都是可以舍去的,此时更新 left 到 mid的位置; 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候,说明 [mid, right] 内的元素
是可以舍去的,此时更新 right 到 mid - 1 的位置;
• 由此,就可以通过⼆分,来快速寻找右边界;
注意:这⾥找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候:
• 左指针: left = mid ,可能会原地踏步(⽐如:如果向下取整的话,如果剩下 1,2 两个元素, left == 1, right == 2,mid == 1 。更新区间之后, left,right,mid 的值
没有改变,就会陷⼊死循环)。
• 右指针: right = mid - 1 ,是会向前移动的,因此区间是会缩⼩的;
因此⼀定要注意,当 right = mid 的时候,要向下取整。

3、代码实现

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.size()==0)  return {-1,-1};int left=0,right=nums.size()-1,begin=0;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]!=target) return{-1,-1};else begin=left;left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right=mid-1;}return {begin,right};}
};

三、X的平方根

1、题目讲解

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2、算法原理

设 x 的平⽅根的最终结果为 index :
a. 分析 index 左右两次数据的特点:
▪ [0, index] 之间的元素,平⽅之后都是⼩于等于 x 的;
▪ [index + 1, x] 之间的元素,平⽅之后都是⼤于 x 的。

3、代码实现

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x>=0 && x<1)  return 0;int left=1,right=x;while(left<right){long long mid=left+(right-left+1)/2;if(mid*mid<=x) left=mid;else right=mid-1;}return left;}
};

四、搜索插入位置

1、题目讲解

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2、算法原理

a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点:
设插⼊位置的坐标为 index ,根据插⼊位置的特点可以知道:
• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的;
• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。
b. 设 left 为本轮查询的左边界, right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信
息,分析下⼀轮查询的区间:
▪ 当 nums[mid] >= target 时,说明 mid 落在了 [index, right] 区间上,
mid 左边包括 mid 本⾝,可能是最终结果,所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此,更新 right 到 mid 位置,继续查找。
▪ 当 nums[mid] < target 时,说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上,
mid 右边但不包括 mid 本⾝,可能是最终结果,所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此,更新 left 到 mid + 1 的位置,继续查找。
c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ,也就是 left == right 的时候, left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。

3、代码实现

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]<target) return left+1;else return left;}
};


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