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Miscellaneous 167.4
卖猪的思考
养猪的人通常不会等着猪猪长到最肥最大的时候才卖。他们通常会在某个时间提前卖掉还没长到最大的猪。虽然笨猪们这时还没有完全长大，但养猪人的利润却能达到最高。这是为什么呢？考虑到有些逆天跟猪差不多算是同行，在这里讨论这个问题感觉也是合理的。
为什么喂猪的人要在猪还没完全长大的时候卖掉？根据常识，猪越长大吃得就越多，饲料费会上涨。在市场价格固定的时候，卖猪的价格和饲料费之间会有一个峰值，在这个时机卖掉笨猪，就能得到最大化利益。
假设一头猪仔卖价 c 0 c_0 c0 每斤，用 f ( t ) f(t) f(t) 表示猪仔在 t t t 时刻的体重。刚生下来的猪仔体重是 f ( 0 ) = x 0 f(0)=x_0 f(0)=x0，它能长到的最大体重为 x m x_{m} xm。养猪人在猪仔长到 x s x_{s} xs 体重的时候卖掉它，期间累计的饲养费用 g ( t ) g(t) g(t) 表示。
猪仔虽然很笨，但是憨吃憨胀，肉长得很快。它的体重增长会呈现逐渐减速的趋势，直到最大体重 x m x_{m} xm，即当 Δ t → 0 \Delta t\to0 Δt→0 时，
f ( t ) − f ( t + Δ t ) → 0. f(t)-f(t+\Delta t)\to 0. f(t)−f(t+Δt)→0.
假设
f ′ ( t ) = d x d t = a ( 1 − x x m ) , (167.4.1) f'(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \tag{167.4.1} f′(t)=dtdx=a(1−xmx),(167.4.1)
式中， f ′ ( t ) = d f / d t f'(t)=\mathrm{d}f/\mathrm{d}t f′(t)=df/dt。
猪仔长得越大，吃的饲料就越多，直到发育成熟，食量就固定下来了，此时饲料费设为 λ \lambda λ。
又假设
g ′ ( t ) = d g d t = λ − b ( 1 − x x m ) , (167.4.2) g'(t)=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}=\lambda-b\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \tag{167.4.2} g′(t)=dtdg=λ−b(1−xmx),(167.4.2)
式中， g ′ ( t ) = d g / d t g'(t)=\mathrm{d}g/\mathrm{d}t g′(t)=dg/dt。
展开 ( 167.4.1 ) (167.4.1) (167.4.1)，
d x x m − x = a d t x m \frac{\mathrm{d}x}{x_{m}-x}=\frac{a\mathrm{d}t}{x_{m}} xm−xdx=xmadt
两边取对数，
ln ( x m − x ) = c − a t x m \ln(x_{m}-x)=c-\frac{at}{x_{m}} ln(xm−x)=c−xmat
代入 f ( 0 ) = x 0 f(0)=x_0 f(0)=x0， c = ln ( x m − x 0 ) c=\ln(x_{m}-x_0) c=ln(xm−x0)，
ln ( x m − x x m − x 0 ) = − a t x m \ln\left(\frac{x_{m}-x}{x_{m}-x_0}\right)=-\frac{at}{x_{m}} ln(xm−x0xm−x)=−xmat
于是，
x m − x = ( x m − x 0 ) exp ( − a t x m ) . x_{m}-x=(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)}. xm−x=(xm−x0)exp(−xmat).
因此可得
x = f ( t ) = x m − ( x m − x 0 ) exp ( − a x m t ) . (167.4.3) x=f(t)=x_{m}-(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{a}{x_{m}}t\right)}. \tag{167.4.3} x=f(t)=xm−(xm−x0)exp(−xmat).(167.4.3)
代入 ( 167.4.2 ) (167.4.2) (167.4.2) 求积分可得
g ′ ( t ) = λ − b ( x m − x 0 ) x m exp ( − a t x m ) ⇒ g ( t ) = λ t + b ( x m − x 0 ) a exp ( − a t x m ) + C . \begin{align} g'(t)&=\lambda-\frac{b(x_m-x_0)}{x_m}\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)} \notag \\ \Rightarrow\quad g(t)&=\lambda t+\frac{b(x_m-x_0)}{a}\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}+C. \tag{167.4.4} \end{align} g′(t)⇒g(t)=λ−xmb(xm−x0)exp(−xmat)=λt+ab(xm−x0)exp(−xmat)+C.(167.4.4)
C C C 可令 g ( 0 ) = c 0 x 0 g(0)=c_0x_0 g(0)=c0x0 求得，
C = c 0 x 0 − b ( x m − x 0 ) a . C=c_0x_0-\frac{b(x_m-x_0)}{a}. C=c0x0−ab(xm−x0).
因此，
g ( t ) = λ t − b ( x m − x 0 ) a [ 1 − exp ( − a t x m ) ] + c 0 x 0 . g(t)=\lambda t-\frac{b\left(x_m-x_0\right)}{a}\left[1-\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right]+c_0x_0. g(t)=λt−ab(xm−x0)[1−exp(−xmat)]+c0x0.
综上，可得猪仔长到 x s x_{s} xs 需要的时间
x s = x m − ( x m − x 0 ) exp ( − a t x m ) ⇒ x m − x 0 = ( x m − x 0 ) exp ( − a t x m ) ⇒ t s = x m a ln ( x m − x 0 x m − x s ) . \begin{align} x_{s}&=x_{m}-(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)} \notag \\ \Rightarrow\quad x_{m}-x_0&=(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)} \notag \\ \Rightarrow\quad t_{s}&=\frac{x_{m}}{a}\ln\left(\frac{x_{m}-x_0}{x_{m}-x_{s}}\right). \tag{167.4.5} \end{align} xs⇒xm−x0⇒ts=xm−(xm−x0)exp(−xmat)=(xm−x0)exp(−xmat)=axmln(xm−xsxm−x0).(167.4.5)
卖猪的利润 p ( t ) p(t) p(t) 即为
p ( t ) = c f ( t ) − g ( t ) = c [ x m − ( x m − x 0 ) exp ( − a t x m ) ] − [ λ t − b ( x m − x 0 ) a [ 1 − exp ( − a t x m ) ] + c 0 x 0 ] = exp ( − a t x m ) [ − c ( x m − x 0 ) − b ( x m − x 0 ) a ] + [ c x m − λ t + b ( x m − x 0 ) a − c 0 x 0 ] = b + a c a [ exp ( − a t x m ) ( x 0 − x m ) + x m ] − λ t − b x 0 a − c 0 x 0 , \begin{align} p(t)=&cf(t)-g(t) \notag \\ =&c\left[x_m-(x_m-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right] \notag \\ &-\left[\lambda t-\frac{b\left(x_m-x_0\right)}{a}\left[1-\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right]+c_0x_0\right]\notag \\ =&\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\left[-c(x_m-x_0)-\frac{b(x_m-x_0)}{a}\right]\notag\\ &+\left[cx_m-\lambda t+\frac{b(x_m-x_0)}{a}-c_0x_0\right]\notag \\ =&\dfrac{b+ac}{a}\left[\exp\left(-\dfrac{at}{x_{m}}\right)\left(x_{0}-x_{m}\right)+x_{m}\right]-\lambda t-\dfrac{bx_{0}}{a}-c_{0}x_{0}, \tag{167.4.6} \end{align} p(t)====cf(t)−g(t)c[xm−(xm−x0)exp(−xmat)]−[λt−ab(xm−x0)[1−exp(−xmat)]+c0x0]exp(−xmat)[−c(xm−x0)−ab(xm−x0)]+[cxm−λt+ab(xm−x0)−c0x0]ab+ac[exp(−xmat)(x0−xm)+xm]−λt−abx0−c0x0,(167.4.6)
可得 p ( t ) p(t) p(t) 最大值
d p d t = x m − x 0 x m ( c a + b ) exp ( − a t x m ) − λ . (167.4.7) \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{x_m-x_0}{x_m}(ca+b)\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}-\lambda.\tag{167.4.7} dtdp=xmxm−x0(ca+b)exp(−xmat)−λ.(167.4.7)
令 d p / d t = 0 \mathrm{d}p/\mathrm{d}t=0 dp/dt=0，
exp ( − a t x m ) = λ x m ( x m − x 0 ) ( c a + b ) . (167.4.8) \exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}=\frac{\lambda x_m}{(x_m-x_0)(ca+b)}.\tag{167.4.8} exp(−xmat)=(xm−x0)(ca+b)λxm.(167.4.8)
由 ( 167.4.8 ) (167.4.8) (167.4.8) 得
t = x m a ln ( x m − x 0 ) ( c a + b ) λ x m , (167.4.9) t=\frac{x_m}{a}\ln\frac{(x_m-x_0)(ca+b)}{\lambda x_m}, \tag{167.4.9} t=axmlnλxm(xm−x0)(ca+b),(167.4.9)
即为最佳卖猪时间。
苏醒了，猎杀时刻。——《屠猪英雄传》
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