动态规划

动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。

动态规划与数学归纳法思想上十分相似。

数学归纳法：

1. 基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。

2. 归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。

通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。

动态规划：

1. 状态表示：

2. 状态转移方程：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。

数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。

动态规划的思想和数学归纳法思想类似。

在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。

接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。

53. 最大子数组和

题目解析

动态表示

动态表示一般是通过经验+题目得到的。

经验一般是指，以某个位置为结尾，或者以某个位置为开始。

我们可以定义dp[i]表示以下标i为结尾的子数组，所能得到的最大和。

因为所有的子数组都有一个结尾，结尾的元素一定是nums数组的某一个元素。

所以我们可以用这个标准划分状态。

动态转移方程

我们想一想dp[i]的状态能不能由其他的状态推导得出？

dp[i]表示以下标i为结尾的子数组，所能得到的最大和。

dp[i-1]表示以下标i-1为结尾的子数组，所能得到的最大和。

对于以下标i为结尾的子数组，要么该子数组只有下标i一个元素，要么不止i下标一个元素。

如果只有下标i一个元素，那么dp[i]=nums[i]

如果不止下标i一个元素，那么dp[i]=dp[i-1]+nums[i]

因为dp[i]表示的是所能获得的最大和，所以在这两种情况中，我们需要选其中的更大的值。

故状态转移方程为，dp[i]=max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])

初始化

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出dp[i]需要用到dp[i-1]。

所以我们需要初始化第一个位置的状态，即初始化dp[0]。

dp[0]表示以下标0为结尾的子数组，所能得到的最大和。

很容易得到，dp[0]=nums[0]。

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出dp[i]需要用到dp[i-1]。

所以我们应该从左往右填写dp表。

返回值

我们需要得到所有子数组中，最大的连续和，所以我们需要遍历所有情况，记录最大值。

代码实现

int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {//dp[i]表示以下标i结尾的连续子数组所能得到的最大和int n=numsSize;int dp[n];int ret=nums[0];dp[0]=nums[0];for(int i=1;i<n;i++){dp[i]=fmax(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);ret=fmax(dp[i],ret);}return ret;
}

我们可以在填表的时候，每填写一个状态就比较一次，如果比最大值大就记录。

最后返回ret就是最大和。

918. 环形子数组的最大和

题目解析

动态表示

动态表示是由经验+题目意思得到的。

经验一般是以某个位置为结尾，或者以某个位置为开始。

根据题目分析，我们需要记录最大和和最小和。

所以我们应该定义f[i]、g[i]，分别表示以i下标为结尾的子数组所能得到的最大和、最小和。

即，f[i]表示以i下标为结尾的子数组所能得到的最大和。

g[i]表示以i下标为结尾的子数组所能得到的最小和。

动态转移方程

我们想一想能不能由其他状态推导出f[i],g[i]？

f[i]表示以i下标为结尾的子数组所能得到的最大和。

g[i]表示以i下标为结尾的子数组所能得到的最小和。

f[i-1]表示以i-1下标为结尾的子数组所能得到的最大和。

g[i-1]表示以i-1下标为结尾的子数组所能得到的最小和。

对于f[i],以i下标为结尾的子数组，分两种情况，第一种情况是这个子数组只有i下标一个元素，第二种情况是不止i下标一个元素。

如果只有i下标一个元素，所能得到的最大和就是nums[i]本身。

如果不止i下标一个元素，所能得到的最大和就是f[i-1]+nums[i]。

所以f[i]=max(nums[i],f[i-1]+nums[i])

同理，g[i]=min(nums[i],g[i-1]+nums[i]）

初始化

根据动态转移方程，我们知道想要推导出i下标状态需要用到i-1位置的状态。

所以我们需要初始化第一个位置的状态。

即，f[0]=nums[0],g[0]=nums[0]

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道想要推导出i下标状态需要用到i-1位置的状态。

所以我们应该从左往右开始填写。

返回值

我们应该返回两种情况下的最大和。

要么最大和对应子数组在nums数组中间，要么最大和对应子数组在nums数组首尾。

当最大和对应子数组在nums数组中间时，我们只需要一个变量记录f[i]中的最大值即可

当最大和对应子数组在nums数组首尾时，我们需要一个变量记录g[i]中的最小值，然后还需要判断min是不是等于sum，如果是相等的，sum-min就没有意义。如果不相等，sum-min就是首尾情况的最大和。

返回这两种情况的最大和即可。

代码实现

int maxSubarraySumCircular(int* nums, int numsSize) {int n=numsSize;int sum=0;for(int i=0;i<n;i++){sum+=nums[i];}int f[n];int g[n];//f:最大和//g:最小和int max=nums[0],min=nums[0];f[0]=nums[0];g[0]=nums[0];for(int i=1;i<n;i++){f[i]=fmax(nums[i],f[i-1]+nums[i]);g[i]=fmin(nums[i],g[i-1]+nums[i]);max=fmax(max,f[i]);min=fmin(min,g[i]);}return sum==min?max:fmax(sum-min,max);}

152. 乘积最大子数组

题目解析

动态表示

动态表示是由经验+题目意思得到的。

经验一般是以某个位置为结尾，或者以某个位置为开始。

根据题目意思我们需要求最大乘积值。

所以我们可以定义dp[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值。

（修正动态表示，f[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值

g[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最小乘积值）

动态转移方程

我们想一想dp[i]能不能由其他状态推导得出？

dp[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值。

dp[i-1]表示以i-1下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值。

（正数乘以最大值就是最大值，正数乘以最小值就是最小值）

（负数乘以最大值就是最小值，负数乘以最小值就是最大值）

对于dp[i]，如果nums[i]>0，dp[i]=dp[i-1]*nums[i]

如果nums[i]<0,dp[i]=（i-1位置的最小乘积值）*nums[i]

所以我们发现只存储最大乘积值是不够的。所以我们修正动态表示。

（修正动态表示，f[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值

g[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最小乘积值）

对于f[i]，如果nums[i]>0，f[i]=f[i-1]*nums[i]

如果nums[i]<0,f[i]=g[i-1]*nums[i]

如果nums[i]=0,f[i]=0

对于g[i]，如果nums[i]>0，g[i]=g[i-1]*nums[i]

如果nums[i]<0,g[i]=f[i-1]*nums[i]

如果nums[i]=0,f[i]=0

如果nums[i]=0，是可以把这种情况归类于nums[i]<0这种情况或者nums[i]>0这种情况中，因为当nums[i]=0，

f[i]=f[i-1]*nums[i]

f[i]=g[i-1]*nums[i]

g[i]=g[i-1]*nums[i]

g[i]=f[i-1]*nums[i]

都是等于0，所以动态转移方程可以写为

int x=nums[i]; int y=nums[i]*f[i-1]; int z=nums[i]*g[i-1]; f[i]=fmax(x,fmax(y,z)); g[i]=fmin(x,fmin(y,z));

初始化

根据动态转移方程，我们知道想要推导i位置的状态，需要i-1位置的状态，所以我们需要初始化第一个位置的状态。

即， f[0]=nums[0]; g[0]=nums[0];

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道想要推导i位置的状态，需要i-1位置的状态，所以我们应该从左往右开始填写，同时填写两个表格。

返回值

f[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最大乘积值

g[i]表示以i下标结尾的子数组所能得到的最小乘积值

我们要求的是最大乘积值，所以需要遍历f[i]数组中所有的值，找出最大值。

代码实现

int maxProduct(int* nums, int numsSize) {int n=numsSize;int f[n];int g[n];f[0]=nums[0];g[0]=nums[0];int ret=nums[0];for(int i=1;i<n;i++){int x=nums[i];int y=nums[i]*f[i-1];int z=nums[i]*g[i-1];f[i]=fmax(x,fmax(y,z));g[i]=fmin(x,fmin(y,z));ret=fmax(ret,f[i]);}return ret;
}

结尾

今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。

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