一、问题的引出

    最大熵模型的学习过程就是求解最大熵模型的过程。最大熵模型的学习可以形式化为约束最优化问题。
    对于给定的训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\}$及特征函数$f_i(x,y)， i=1, 2, \dots, n$,最大熵模型的学习等价于约束最优化问题：

$$\max_{P \in C} H(P)=-\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x) \log P(y|x)\\ s.t. \quad E_p(f_i)=E_\widetilde{p}(f_i), i=1, 2, \dots, n \\ \sum_yP(y|x)=1$$
上式等价于：
$$\min_{P \in C} -H(P)=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x) \log P(y|x)\\ s.t. \quad E_p(f_i)-E_\widetilde{p}(f_i)=0, \quad i=1, 2, \dots, n \\ \sum_yP(y|x)=1$$
    求解上式有约束的最优化问题，所得出的解，就是最大熵模型学习的解。

二、推导过程

    将约束最优化的原问题转换为无约束最优化问题的对偶问题，通过求解对偶问题求解原问题。
     首先，引入拉格朗日乘子$w_0, w_1, \dots， w_n$, 定义拉格朗日函数$L(P,w)$:

$$L(P,w) = -H(P) + w_0(1-\sum_yP(y|x)) + \sum_i^n w_i(E_p(f_i)-E_\widetilde{p}(f_i)) \\ =\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x) \log P(y|x) + w_0(1-\sum_yP(y|x)) + \sum_i^n w_i(\sum_{x, y} \widetilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum_{x, y} \widetilde{P}(x)P(y|x)f_i(x,y))$$
最优化的原始问题是：
$$\min_{P \in C} \max_w L(P,w)$$
对偶问题是：
$$\max_w \min_{P \in C} L(P,w)$$
由于拉格朗日函数 $L(P,w)$ 是 $P$的凸函数， 原问题的解与对偶问题的解是等价的。
首先求$\min_{P \in C} L(P,w)$, $\min_{P \in C} L(P,w)$是 $w$的函数，记为：
$$\Psi(w) = \min_{P \in C} L(P_w,w),$$
$\Psi(w)$的解 记为：
$$P_w = arg \min_{P \in C} L(P,w) = P_w(y|x)$$
求 $L(P,w)$对 $P(y|x)$的偏导数:
$$\frac{\partial{L(P,w)}}{\partial{P(y|x)}} = \sum_{x,y} \widetilde{P}(x)(\log P(y|x) + 1)- \sum_y w_0 - \sum_{x,y}(\widetilde{P}(x) \sum_{i=1}^n w_i f_i(x,y))$$
令 偏导数=0 ，当 $\widetilde{P}(x) > 0$时，
$$P(y|x) = \exp(\sum_{i=1}^n w_i f_i(x,y) + w_0 - 1) = \frac{\exp(\sum_{i=1}^n w_i f_i(x,y))}{\exp(1- w_0)}$$
由于 $\sum_yP(y|x)=1$得：
$$\exp(1- w_0) = \sum_y \exp(\sum_{i=1}^n w_i f_i(x,y)) = Z_w(x) \\ P_w(y|x) = \frac{1}{Z_w(x)}\exp(\sum_{i=1}^n w_i f_i(x,y))$$
其中， $Z_w(x)$称为规范化因子， $f_i(x,y)$为特征函数， $w_i$是特征权值。 $P_w(y|x)$就是最大熵模型。之后，求解对偶问题的最大化：
$$\max_w \Psi(w)$$
将其解记为：
$$w^* = \arg \max_w \Psi(w)$$