排序算法：快速排序

        快速排序算法由 C. A. R. Hoare 在 1960 年提出。它的时间复杂度也是 O(nlogn)，但它在时间复杂度为 O(nlogn) 级的几种排序算法中，大多数情况下效率更高，所以快速排序的应用非常广泛。再加上快速排序所采用的分治思想非常实用，使得快速排序深受面试官的青睐，所以掌握快速排序的思想尤为重要。

        快速排序算法的基本思想是：

  • 从数组中取出一个数，称之为基数（pivot）
  • 遍历数组，将比基数大的数字放到它的右边，比基数小的数字放到它的左边。遍历完成后，数组被分成了左右两个区域
  • 将左右两个区域视为两个数组，重复前两个步骤，直到排序完成

        事实上，快速排序的每一次遍历，都将基数摆到了最终位置上。第一轮遍历排好 1 个基数，第二轮遍历排好 2 个基数（每个区域一个基数，但如果某个区域为空，则此轮只能排好一个基数），第三轮遍历排好 4 个基数（同理，最差的情况下，只能排好一个基数），以此类推。总遍历次数为 logn～n 次，每轮遍历的时间复杂度为 O(n)，所以很容易分析出快速排序的时间复杂度为 
O(nlogn) ～ O(n^2)，平均时间复杂度为 O(nlogn)。

快速排序递归框架

根据我们分析出的思路，先搭出快速排序的架子：

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 对左边区域快速排序quickSort(arr, start, middle - 1);// 对右边区域快速排序quickSort(arr, middle + 1, end);
}
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {// TODO: 将 arr 从 start 到 end 分区，左边区域比基数小，右边区域比基数大，然后返回中间值的下标
}

partition 意为“划分”，我们期望 partition 函数做的事情是：将 arr 从 start 到 end 这一区间的值分成两个区域，左边区域的每个数都比基数小，右边区域的每个数都比基数大，然后返回中间值的下标。

只要有了这个函数，我们就能写出快速排序的递归函数框架。首先调用 partition 函数得到中间值的下标 middle，然后对左边区域执行快速排序，也就是递归调用 quickSort(arr, start, middle - 1)，再对右边区域执行快速排序，也就是递归调用 quickSort(arr, middle + 1, end)。

现在还有一个问题，何时退出这个递归函数呢？

退出递归的边界条件
        

        很容易想到，当某个区域只剩下一个数字的时候，自然不需要排序了，此时退出递归函数。实际上还有一种情况，就是某个区域只剩下 0 个数字时，也需要退出递归函数。当 middle 等于 start 或者 end 时，就会出现某个区域剩余数字为 0。

所以我们可以通过这种方式退出递归函数：

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 当左边区域中至少有 2 个数字时，对左边区域快速排序if (start != middle && start != middle - 1) quickSort(arr, start, middle - 1);// 当右边区域中至少有 2 个数字时，对右边区域快速排序if (middle != end && middle != end - 1) quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        在递归之前，先判断此区域剩余数字是否为 0 个或者 1 个，当数字至少为 2 个时，才执行这个区域的快速排序。因为我们知道 middle >= start && middle <= end 必然成立，所以判断剩余区域的数字为 0 个或者 1 个也就是指 start 或 end 与 middle 相等或相差 1。

我们来分析一下这四个判断条件：

  • 当 start == middle 时，相当于 quickSort(arr, start, middle - 1) 中的 start == end + 1
  • 当 start == middle - 1 时，相当于 quickSort(arr, start, middle - 1) 中的 start == end
  • 当 middle == end 时，相当于 quickSort(arr, middle + 1, end) 中的 start == end + 1
  • 当 middle == end -1 时，相当于 quickSort(arr, middle + 1, end) 中的 start == end

综上，我们可以将此边界条件统一移到 quickSort 函数之前：

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 如果区域内的数字少于 2 个，退出递归if (start == end || start == end + 1) return;// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 对左边区域快速排序quickSort(arr, start, middle - 1);// 对右边区域快速排序quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        更进一步，由上文所说的 middle >= start && middle <= end 可以推出，除了start == end || start == end + 1这两个条件之外，其他的情况下 start 都小于 end。所以我们可以将这个判断条件再次简写为：

public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 如果区域内的数字少于 2 个，退出递归if (start >= end) return;// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 对左边区域快速排序quickSort(arr, start, middle - 1);// 对右边区域快速排序quickSort(arr, middle + 1, end);
}

        这样我们就写出了最简洁版的边界条件，我们需要知道，这里的 start >= end 实际上只有两种情况：

  • start == end: 表明区域内只有一个数字
  • start == end + 1: 表明区域内一个数字也没有

不会存在 start 比 end 大 2 或者大 3 之类的。

分区算法实现


        快速排序中最重要的便是分区算法，也就是 partition 函数。大多数人都能说出快速排序的整体思路，但实现起来却很难一次写对。主要问题就在于分区时存在的各种边界条件，需要读者亲自动手实践才能加深体会。

        上文已经说到，partition 函数需要做的事情就是将 arr 从 start 到 end 分区，左边区域比基数小，右边区域比基数大，然后返回中间值的下标。那么首先我们要做的事情就是选择一个基数，基数我们一般称之为 pivot，意为“轴”。整个数组就像围绕这个轴进行旋转，小于轴的数字旋转到左边，大于轴的数字旋转到右边。（所谓的双轴快排就是一次选取两个基数，将数组分为三个区域进行旋转，关于双轴快排的内容我们将在后续章节讲解。）

基数的选择


        基数的选择没有固定标准，随意选择区间内任何一个数字做基数都可以。通常来讲有三种选择方式：

  • 选择第一个元素作为基数
  • 选择最后一个元素作为基数
  • 选择区间内一个随机元素作为基数

选择的基数不同，算法的实现也不同。实际上第三种选择方式的平均时间复杂度是最优的，待会分析时间复杂度时我们会详细说明。

本文通过第一种方式来讲解快速排序：

// 将 arr 从 start 到 end 分区，左边区域比基数小，右边区域比基数大，然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {// 取第一个数为基数int pivot = arr[start];// 从第二个数开始分区int left = start + 1;// 右边界int right = end;// TODO
}

最简单的分区算法


        分区的方式也有很多种，最简单的思路是：从 left 开始，遇到比基数大的数，就交换到数组最后，并将 right 减一，直到 left 和 right 相遇，此时数组就被分成了左右两个区域。再将基数和中间的数交换，返回中间值的下标即可。

按照这个思路，我们敲出了如下代码：

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 如果区域内的数字少于 2 个，退出递归if (start >= end) return;// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 对左边区域快速排序quickSort(arr, start, middle - 1);// 对右边区域快速排序quickSort(arr, middle + 1, end);
}
// 将 arr 从 start 到 end 分区，左边区域比基数小，右边区域比基数大，然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {// 取第一个数为基数int pivot = arr[start];// 从第二个数开始分区int left = start + 1;// 右边界int right = end;// left、right 相遇时退出循环while (left < right) {// 找到第一个大于基数的位置while (left < right && arr[left] <= pivot) left++;// 交换这两个数，使得左边分区都小于或等于基数，右边分区大于或等于基数if (left != right) {exchange(arr, left, right);right--;}}// 如果 left 和 right 相等，单独比较 arr[right] 和 pivotif (left == right && arr[right] > pivot) right--;// 将基数和中间数交换if (right != start) exchange(arr, start, right);// 返回中间值的下标return right;
}
private static void exchange(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

        因为我们选择了数组的第一个元素作为基数，并且分完区后，会执行将基数和中间值交换的操作，这就意味着交换后的中间值会被分到左边区域。所以我们需要保证中间值的下标是分区完成后，最后一个比基数小的值，这里我们用 right 来记录这个值。

        这段代码有一个细节。首先，在交换 left 和 right 之前，我们判断了 left != right，这是因为如果剩余的数组都比基数小，则 left 会加到 right 才停止，这时不应该发生交换。因为 right 已经指向了最后一个比基数小的值。

        但这里的拦截可能会拦截到一种错误情况，如果剩余的数组只有最后一个数比基数大，left 仍然加到 right 停止了，但我们并没有发生交换。所以我们在退出循环后，单独比较了 arr[right] 和 pivot。

        实际上，这行单独比较的代码非常巧妙，一共处理了三种情况：

  • 一是刚才提到的剩余数组中只有最后一个数比基数大的情况
  • 二是 left 和 right 区间内只有一个值，则初始状态下， left == right，所以 while (left < right) 根本不会进入，所以此时我们单独比较这个值和基数的大小关系
  • 三是剩余数组中每个数都比基数大，此时 right 会持续减小，直到和 left 相等退出循环，此时 left 所在位置的值还没有和 pivot 进行比较，所以我们单独比较 left 所在位置的值和基数的大小关系

双指针分区算法

        除了上述的分区算法外，还有一种双指针的分区算法更为常用：从 left 开始，遇到比基数大的数，记录其下标；再从 right 往前遍历，找到第一个比基数小的数，记录其下标；然后交换这两个数。继续遍历，直到 left 和 right 相遇。然后就和刚才的算法一样了，交换基数和中间值，并返回中间值的下标。

代码如下：

public static void quickSort(int[] arr) {quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {// 如果区域内的数字少于 2 个，退出递归if (start >= end) return;// 将数组分区，并获得中间值的下标int middle = partition(arr, start, end);// 对左边区域快速排序quickSort(arr, start, middle - 1);// 对右边区域快速排序quickSort(arr, middle + 1, end);
}
// 将 arr 从 start 到 end 分区，左边区域比基数小，右边区域比基数大，然后返回中间值的下标
public static int partition(int[] arr, int start, int end) {// 取第一个数为基数int pivot = arr[start];// 从第二个数开始分区int left = start + 1;// 右边界int right = end;while (left < right) {// 找到第一个大于基数的位置while (left < right && arr[left] <= pivot) left++;// 找到第一个小于基数的位置while (left < right && arr[right] >= pivot) right--;// 交换这两个数，使得左边分区都小于或等于基数，右边分区大于或等于基数if (left < right) {exchange(arr, left, right);left++;right--;}}// 如果 left 和 right 相等，单独比较 arr[right] 和 pivotif (left == right && arr[right] > pivot) right--;// 将基数和轴交换exchange(arr, start, right);return right;
}
private static void exchange(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;
}

        同样地，我们需要在退出循环后，单独比较 left 和 right 的值。

        从代码实现中可以分析出，快速排序是一种不稳定的排序算法，在分区过程中，相同数字的相对顺序可能会被修改。

时间复杂度 & 空间复杂度

        快速排序的时间复杂度上文已经提到过，平均时间复杂度为 O(nlogn)，最坏的时间复杂度为 
O(n^2)，空间复杂度与递归的层数有关，每层递归会生成一些临时变量，所以空间复杂度为 
O(logn) ~ O(n)，平均空间复杂度为 O(logn)。

快速排序的优化思路

        第一种就是我们在前文中提到的，每轮选择基数时，从剩余的数组中随机选择一个数字作为基数。这样每轮都选到最大或最小值的概率就会变得很低了。所以我们才说用这种方式选择基数，其平均时间复杂度是最优的

        第二种解决方案是在排序之前，先用洗牌算法将数组的原有顺序打乱，以防止原数组正序或逆序。

        Java 已经将洗牌算法封装到了集合类中，即 Collections.shuffle() 函数。洗牌算法由 Ronald A.Fisher 和 Frank Yates 于 1938 年发明，思路是每次从未处理的数据中随机取出一个数字，然后把该数字放在数组中所有未处理数据的尾部。 Collections.shuffle() 函数源码如下：

private static final int SHUFFLE_THRESHOLD = 5;public static void shuffle(List<?> list, Random rnd) {int size = list.size();if (size < SHUFFLE_THRESHOLD || list instanceof RandomAccess) {for (int i=size; i>1; i--)swap(list, i-1, rnd.nextInt(i));} else {Object arr[] = list.toArray();// Shuffle arrayfor (int i=size; i>1; i--)swap(arr, i-1, rnd.nextInt(i));// Dump array back into list// instead of using a raw type here, it's possible to capture// the wildcard but it will require a call to a supplementary// private methodListIterator it = list.listIterator();for (int i=0; i<arr.length; i++) {it.next();it.set(arr[i]);}}
}public static void swap(List<?> list, int i, int j) {// instead of using a raw type here, it's possible to capture// the wildcard but it will require a call to a supplementary// private methodfinal List l = list;l.set(i, l.set(j, l.get(i)));
}private static void swap(Object[] arr, int i, int j) {Object tmp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = tmp;
}

        从源码中可以看出，对于数据量较小的列表（少于 5 个值），shuffle 函数直接通过列表的 set 方法进行洗牌，否则先将 list 转换为 array，再进行洗牌，以提高交换效率，洗牌完成后再将 array 转成 list 返回。

        还有一种解决方案，既然数组重复排序的情况如此常见，那么我们可以在快速排序之前先对数组做个判断，如果已经有序则直接返回，如果是逆序则直接倒序即可。在 Java 内部封装的 Arrays.sort() 的源码中就采用了此解决方案。

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