洛谷 P1754 球迷购票问题

题目背景

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

题目描述

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

第一种:A A B B

第二种:A B A B

[编程任务]

对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式，可以使售票处不至于找不出钱。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，代表N的值

输出格式：

一个整数，表示方案数

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

必开QWORD

测试：N=15

回溯:1秒（超时）

模拟栈：大于10分钟

递归算法：1秒（超时）

动态规划：0 MS

组合算法：16 MS

思路：

一：卡特兰数

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
long long f[10000];
int main(){scanf("%d",&n);f[0]=f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=0;j<i;j++)f[i]+=f[j]*f[i-j-1];cout<<f[n];
}

二：动态规划。f[i][j]表示已经收了i个人的钱，现在手里有j张50的。

那当现在收的人的钱是50元时 f[i][j]+=f[i-1][j-1]。因为多一张50的，所以现在50元比起原来就多了一张。

当现在收的人的钱是100元时 f[i][j]+=f[i-1][j+1]。因为要找一张50的，所以比起原来就少了一张50的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int f[42][42];
int main(){scanf("%d",&n);f[0][0]=1;for(int i=1;i<=2*n;i++)for(int j=0;j<=min(i,n);j++){if(j-1>=0)    f[i][j]+=f[i-1][j-1];if(j<=i)    f[i][j]+=f[i-1][j+1];}cout<<f[2*n][0];
}