①、爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

事例：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

思路：

        之前用动态规划做过了，就是用dp数组保存i个阶梯拥有的方法，然后向前累加两个方法数量即可。

        进阶：使用完全背包思想，一次跳一阶两阶可以视为物品，由于可以重复使用，故使用完全背包。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[j]表示跳到第j个阶梯所拥有的方法数。

        动态转移方程：dp[j] += dp[j - i] i为物品(1 / 2)

        初始化：dp[0] = 0

        遍历顺序：先遍历物品或背包都行，使用完全背包思想，两个都需要升序遍历

        dp[n]即为答案。

代码：

public int climbStairs(int n) {//动态规划// if(n == 1 || n == 2) return n;// int[] dp = new int[n + 1];// dp[0] = 0;// dp[1] = 1;// dp[2] = 2;// for(int i = 3;i <= n;i++){//     dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];// }// return dp[n];//完全背包if(n == 1 || n == 2) return n;int[] dp = new int[n + 1];int m = 2;dp[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){for(int j = 1;j <= m;j++){if(i >= j) dp[i] += dp[i - j];}}return dp[n];}

②、零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

事例：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

思路：

        使用完全背包思想，创建一个dp数组，dp[j]表示凑到数额j时所需要的最小硬币个数。由于要求最小值，故dp的初始化为dp[0] = 0其余为int的最大值。动态转移方程：dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - coins[i]] + 1)，由于int的最大值进行加1操作会溢出，故得判断j - coins[i]索引下的值是否被替换，当替换后才能进行状态转移。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[j]表示凑到数额j时所需要的最小硬币个数。

        状态转移方程：dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - coins[i]] + 1)

        初始化：dp[0] = 0因为不用凑 其余初始化为int的最大值

        遍历顺序：物品和背包容量正序遍历，两者之间的顺序无要求

        dp[amount]若为int的最大值，即没法凑到amount 返回-1

代码：

public int coinChange(int[] coins, int amount) {if(amount == 0) return 0;Arrays.sort(coins);if(amount < coins[0]) return -1;int[] dp = new int[amount + 1];Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;for(int i = 0;i < coins.length;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){if(dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - coins[i]] + 1);}}if(dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) return -1;return dp[amount];}

③、完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

事例：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

思路：

        跟上一题类似，只是这题的硬币组合(物品)需要我们自行构造，创建一个int数组help，大小为sqrt(n)，存放从0到sqrt(n)之间的完全平方数。然后使用完全背包思想，求得凑到当前数值n的最小个数。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[j]表示凑到当前j所使用的最小完全平方数的个数

        状态转移方程：dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - help[i]] + 1)

        初始化：dp[0] = 0，其余初始化为int的最大值

        遍历顺序：物品和背包容量正序，两者之间无要求

        dp[n]即为答案。

代码：

public int numSquares(int n) {//构造物品数组 完全平方数数组int[] help = new int[(int)(Math.sqrt(n)) + 1];int count = 0;help[count++] = 0;for(int i = 1;i < help.length;i++){int num = i * i;help[count++] = num;}int[] dp = new int[n + 1];Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;for(int i = 0;i < help.length;i++){for(int j = help[i];j <= n;j++){if(dp[j - help[i]] != Integer.MAX_VALUE)dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j - help[i]] + 1);}}return dp[n];}

参考：代码随想录 (programmercarl.com)