最小生成树

最小生成树（minimum spanning tree）是由n个顶点，n-1条边，将一个连通图连接起来，且使权值最小的结构。
最小生成树可以用Prim（普里姆）算法或kruskal（克鲁斯卡尔）算法求出。

我们将以下面的带权连通图为例讲解这两种算法的实现：

注：由于测试输入数据较多，程序可以采用文件输入

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Prim（普里姆）算法
时间复杂度：O（N^2）（N为顶点数）
prim算法又称“加点法”，用于边数较多的带权无向连通图
方法：每次找与之连线权值最小的顶点，将该点加入最小生成树集合中
注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路的情况。

代码部分通过以下步骤可以得到最小生成树：

1.初始化：
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0表示i点加入了MST。
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0表示起点i加入MST。
由于我们规定最开始的顶点是1，所以lowcost[1]=0，MST[1]=0。即只需要对2~n进行初始化即可。

#define MAX 100  
#define MAXCOST 0x7fffffff  int graph[MAX][MAX];  void prim(int graph[][MAX], int n)  
{  int lowcost[MAX];  int mst[MAX];  int i, j, min, minid, sum = 0;  for (i = 2; i <= n; i++)  {  lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始点 }  mst[1] = 0;  

2.查找最小权值及路径更新
定义一个最小权值min和一个最小顶点ID minid，通过循环查找出min和minid，另外由于规定了某一顶点如果被连入，则lowcost[i]=0，所以不需要担心重复点问题。所以找出的终点minid在MST[i]中可以找到对应起点，min为权值，直接输出即可。
我们连入了一个新的顶点，自然需要对这一点可达的路径及权值进行更新，所以循环中还应该包括路径更新的代码。

for (i = 2; i <= n; i++)  {  min = MAXCOST;  minid = 0;  for (j = 2; j <= n; j++)  {  if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)  {  min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID }  }  printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++){  if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 {  lowcost[j] = graph[minid][j];  mst[j] = minid;}  }  }  printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}  

具体代码如下：

#include<stdio.h>    
#define MAX 100  
#define MAXCOST 0x7fffffff  int graph[MAX][MAX];  void prim(int graph[][MAX], int n)  
{  int lowcost[MAX];  int mst[MAX];  int i, j, min, minid, sum = 0;  for (i = 2; i <= n; i++)  {  lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始点 }  mst[1] = 0;  for (i = 2; i <= n; i++)  {  min = MAXCOST;  minid = 0;  for (j = 2; j <= n; j++)  {  if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)  {  min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID }  }  printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++){  if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 {  lowcost[j] = graph[minid][j];  mst[j] = minid;}  }  }  printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}  
int main()  
{  int i, j, k, m, n;  int x, y, cost;  //freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入 scanf("%d%d",&m,&n);//m=顶点的个数，n=边的个数  for (i = 1; i <= m; i++)//初始化图 {  for (j = 1; j <= m; j++)  {  graph[i][j] = MAXCOST;  }  }   for (k = 1; k <= n; k++)  {  scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost);graph[i][j] = cost;  graph[j][i] = cost;  }  prim(graph, m);  return 0;  
}  

编译运行结果：

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kruskal（克鲁斯卡尔）算法
时间复杂度：O（NlogN）（N为边数）
kruskal算法又称“加边法”，用于边数较少的稀疏图
方法：每次找图中权值最小的边，将边连接的两个顶点加入最小生成树集合中
注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路的情况。






代码部分通过以下步骤可以得到最小生成树：

1.初始化：
构建边的结构体，包括起始顶点、终止顶点，边的权值
借用一个辅助数组vset[i]用来判断某边是否加入了最小生成树集合

#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{int vex1;                     //边的起始顶点int vex2;                      //边的终止顶点int weight;                    //边的权值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{ int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;int vset[n+1];for(i=1;i<=n;i++)        //初始化辅助数组vset[i]=i;k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1j=0;//E中边的下标，初值为0

2.取边和辅助集合更新
按照***排好的顺序***依次取边，若不属于同一集合则将其加入最小生成树集合，每当加入新的边，所连接的两个点即纳入最小生成树集合，为避免重复添加，需要进行辅助集合更新
注：由于kruskal算法需要按照权值大小顺序取边，所以应该事先对图按权值升序，这里我采用了快速排序算法，具体算法可以参照快速排序（C语言）

 while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环{m1=E[j].vex1;m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点sn1=vset[m1];sn2=vset[m2];                           //分别得到两个顶点所属的集合编号if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边{//防止出现闭合回路 printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);sum+=E[j].weight;k++;                //生成边数增加if(k>=n)break;for(i=1;i<=n;i++)    //两个集合统一编号if (vset[i]==sn2)  //集合编号为sn2的改为sn1vset[i]=sn1;}j++;                  //扫描下一条边}printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}

具体算法实现：

#include <stdio.h>
#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{int vex1;                     //边的起始顶点int vex2;                      //边的终止顶点int weight;                    //边的权值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{ int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;int vset[n+1];for(i=1;i<=n;i++)        //初始化辅助数组vset[i]=i;k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1j=0;//E中边的下标，初值为0while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环{m1=E[j].vex1;m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点sn1=vset[m1];sn2=vset[m2];                           //分别得到两个顶点所属的集合编号if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边{//防止出现闭合回路 printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);sum+=E[j].weight;k++;                //生成边数增加 if(k>=n)break;for(i=1;i<=n;i++)    //两个集合统一编号if (vset[i]==sn2)  //集合编号为sn2的改为sn1vset[i]=sn1;}j++;                  //扫描下一条边}printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}
int fun(Edge arr[],int low,int high){int key;Edge lowx;lowx=arr[low];key=arr[low].weight;while(low<high){while(low<high && arr[high].weight>=key)high--;if(low<high)arr[low++]=arr[high];while(low<high && arr[low].weight<=key)low++;if(low<high)arr[high--]=arr[low];}arr[low]=lowx;return low;} 
void quick_sort(Edge arr[],int start,int end)
{int pos;if(start<end){pos=fun(arr,start,end);quick_sort(arr,start,pos-1);quick_sort(arr,pos+1,end);}
}
int main()
{Edge E[MAXE];int nume,numn;//freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入printf("输入顶数和边数:\n");scanf("%d%d",&numn,&nume);for(int i=0;i<nume;i++)scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight);quick_sort(E,0,nume-1);kruskal(E,numn,nume);
}

编译运行结果：