Factors of Factorial AtCoder - 2286 （N的阶乘的因子个数）（数论）

Problem Statement

 

You are given an integer N. Find the number of the positive divisors of N!, modulo 10^9+7.

Constraints

 

• 1≤N≤10^3

Input

 

The input is given from Standard Input in the following format:

N

Output

 

Print the number of the positive divisors of N!, modulo 10^9+7.

Sample Input 1

 

3

Sample Output 1

 

4

There are four divisors of 3! =6: 1, 2, 3 and 6. Thus, the output should be 4.

Sample Input 2

 

6

Sample Output 2

 

30

Sample Input 3

 

1000

Sample Output 3

 

972926972


题意：　
　　给你一个整数N，求N的结成N！的因子个数，并对1E9+7取模

首先我们应该知道这个的一个性质。
N!=1*2*3*4~~~*n
N!=(2*4*6*8...n)*(1*3*5*7.....*(n-1))
N!=2^(n/2)*(n/2)!*(1*3**5*7*...*(n-1))
所以N规模的问题转换为N/2规模了，原来求N！含有素数2的个数，等价于求(N/2)!含有素数2的个数加上N/2了。上面是N为偶数的算法，N为奇数时也是一样。

递推式f(n, 2) = f(n/2, 2) + n/2，表示n!中2的个数。

同理，推出 f(n, p) = f(n/p, p) + n/p，表示n!中素数p的个数

int f(int n, int p)
{if(n==0)return 0;return f(n/p,p) + n/p;
}

再介绍下唯一分解定理，
即大于1的任意整数，都可以用质数的次幂的积来表示出来，而且这个表示是唯一的，所以叫唯一分解定理。

这样我们只需要先处先线性筛把质数都筛出来，然后直接logN来唯一分解出N，


首先来看这样的一个问题，我们要求N的所有因子个数，我们知道可以sqrt(n)时间复杂度的解决方案，但是显然太慢了。
我们还有另外一个定理，将N进行唯一分解后，他的所有因子的个数，就是它的质因子的幂次+1的乘积。
例如：
N= p1^t1 * p2^t2 * p3^t3* … * pk^tk（其中，p1, p2, … pk为素数）
那么N的所有因子个数就是num=(t1+1)*(t2+1)*(t3+1)*...*(tk+1)

借助这个定理，我们通过最上面提到的方法把N!唯一分解，
然后就很容易的求出它的所有因子个数。

细节见代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define dll(x) scanf("%I64d",&x)
#define xll(x) printf("%I64d\n",x)
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
ll powmod(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=1ll;while(b){if(b&1)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD;b>>=1;}return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn=100010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
bool noprime[maxn];
std::vector<int> p;
ll pf[122][3];
int init()
{MS0(noprime);p.clear();int m=(int)(sqrt(maxn+0.5));repd(i,2,m){if(!noprime[i]){for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i){noprime[j]=1;}}}repd(i,2,maxn){if(!noprime[i]){p.pb(i);}}return p.size();
}
int getprifac(ll n,int len)
{int pos=0;for(int i=0;p[i]*p[i]<=n&&i<len;i++){if(n%p[i]==0){pf[++pos][0]=p[i];pf[pos][1]=0;while(n%p[i]==0){pf[pos][1]++;n/=p[i];}}}if(n>1){pf[++pos][0]=n;pf[pos][1]=1;}return pos;
}
ll getnum(ll num,ll x)
{if(!num){return 0;}else{return num/x+getnum(num/x,x);}
}
const ll mod = 1e9+7ll;
int main()
{//    freopen("C:\\Users\\DH_M\\Desktop\\code_io\\in.txt.txt","r",stdin);//    freopen("C:\\Users\\DH_M\\Desktop\\code_io\\out.txt.txt","w",stdout);
    ll n;cin>>n;int len=init();ll ans=1ll;rep(i,0,len){if(p[i]>n)break;ll cnt=getnum(n,p[i]);ans*=(cnt+1ll);ans=(ans+mod)%mod;}cout<<ans<<endl;return 0;
}inline void getInt(int* p) {char ch;do {ch = getchar();} 
while (ch == ' ' || ch == '\n');if (ch == '-') {*p = -(getchar() - '0');
while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {*p = *p * 10 - ch + '0';}}
else {*p = ch - '0';while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') 
{*p = *p * 10 + ch - '0';}}}