比起传统的K-means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，计算量也要小很多。

1. 谱聚类概述

谱聚类是从图论中演化出来，主要思想是吧所有的数据看作空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同子图间边权重和尽可能的低，子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

2. 谱聚类基础之一：无向权重图

对于一个图G，我们一般用点的集合 V 和边的集合E来描述。即为G(V,E)。其中 V 即为我们数据集里面所有的点(v1,v2,...vn)。对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重wij为点vi和点vj之间的权重。由于我们是无向图，所以wij=wji。 对于有边连接的两个点vi和vj，wij>0,对于没有边连接的两个点vi和vj，wij=0。对于图中的任意一个点vi，它的度di定义为和它相连的所有边的权重之和

利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵D,它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：

利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是一个n×n的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重wij。

除此之外，对于点集V的的一个子集A⊂V，我们定义：

3. 谱聚类基础之二：相似矩阵

在上一节我们讲到了邻接矩阵W，它是由任意两点之间的权重值wij组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？

基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵S来获得邻接矩阵W。

在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

4. 谱聚类基础之三：拉普拉斯矩阵

单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵L=D−W。D即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而W即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。

拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：

1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由D和W都是对称矩阵而得。

2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。

3）对于任意的向量f,我们有

4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即0=λ1≤λ2≤...≤λn， 且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。

5. 谱聚类基础之四：无向图切图

对于无向图G的切图，我们的目标是将图G(V,E)切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：A1,A2,..Ak，它们满足Ai∩Aj=∅,且A1∪A2∪...∪Ak=V.

那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：

我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。

6. 谱聚类之切图聚类

为了避免最小切图导致的切图效果不佳，我们需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，第一种是RatioCut，第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。

6.1 RatioCut切图

RatioCut切图为了避免第五节的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化cut(A1,A2,...Ak)，它还同时考虑最大化每个子图点的个数，即：

由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量h对应的H现在不能完全指示各样本的归属，因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用K-Means聚类.

6.2 Ncut切图

7. 谱聚类算法流程

一般来说，谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式、切图的方式以及最后的聚类方法。最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式。最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面为Ncut总结的谱聚类算法流程。

输入：样本集D=(x1,x2,...,xn)，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度k1, 聚类方法，聚类后的维度k2

输出： 簇划分C(c1,c2,...ck2).

（1）根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵

（2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D

（3）计算出拉普拉斯矩阵L

（4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵D−1/2LD−1/2

（5）计算D−1/2LD−1/2 最小的k1个特征值所对应的特征向量f

（6）将各自对应的特征向量f组成的矩阵按行标准化，最终组成n×k1维的特征矩阵F

（7）对F中的每一行作为一个k1维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为k2.

（8）得到簇划分C(c1,c2,...ck2).

8. 谱聚类算法总结

主要优点：

（1）谱聚类算法只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到

（2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好

主要缺点：

（1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好

（2）聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能不同。

本文转自：

谱聚类（spectral clustering）原理总结​www.cnblogs.com