【youcans 的 OpenCV 例程300篇】250. 梯度算子的传递函数

1. 空间卷积与频域滤波

空间域图像滤波是图像与滤波器核的卷积，而空间卷积的傅里叶变换是频率域中相应变换的乘积，因此频率域图像滤波是频率域滤波器（传递函数）与图像的傅里叶变换相乘。频率域中的滤波概念更加直观，滤波器设计也更容易。

对于二维图像处理，通常使用 $x, y$ 表示离散的空间域坐标变量，用 $u, v$ 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：

$F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)\begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j 2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y) &= \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j 2\pi (ux/M+vy/N)} \end{aligned}$

空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为： $Δu=1/MΔT，Δv=1/NΔZ\Delta u = 1/M \Delta T，\Delta v = 1/N \Delta Z$ 。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。

空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，形成一个傅里叶变换对：
$\otimes h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\f(x,y) h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v) \otimes H(u,v)$

这表明 F 和 H 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。

因此，计算两个函数的空间卷积，可以直接在空间域计算，也可以在频率域计算：先计算每个函数的傅里叶变换，再对两个变换相乘，最后进行傅里叶反变换转换回空间域。

也就是说，空间域滤波器和频率域滤波器实际上是相互对应的，也是可以相互转换的。空间域滤波的核心是卷积核，频域滤波的核心是构造滤波器的传递函数。有些空间域滤波器在频率域通过傅里叶变换实现会更方便、更快速。

在空间滤波中，除Laplacian算子之外还讨论了Sobel算子、Scharr算子，但在频域滤波中却很少提及。这是因为空间滤波中的平滑（模糊）/锐化的概念，与频域滤波中的低通滤波/高通滤波虽然相似，也有密切联系，但在本质上却是不同的。平滑滤波相当于低通滤波，但锐化与高通滤波是不同的。

对空间滤波器核进行傅里叶变换，得到空间滤波器在频域的传递函数，可以清晰和直观地理解二者的联系和区别。

2. 梯度算子在空间域的卷积核

2.1 拉普拉斯卷积核（Laplacian）

各向同性卷积核的响应与方向无关。最简单的各向同性导数算子（卷积核）是拉普拉斯算子（Laplace）：

$\begin{bmatrix} 0 & 1 &0\\ 1 & -4 &1\\ 0 & 1 &0\\ \end{bmatrix}, \ K2= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 1 & -8 &1\\ 1 & 1 &1\\ \end{bmatrix}, \ K3= \begin{bmatrix} 0 & -1 &0\\ -1 & 4 &-1\\ 0 & -1 &0\\ \end{bmatrix}, \ K4= \begin{bmatrix} -1 & -1 &-1\\ -1 & 8 &-1\\ -1 & -1 &-1\\ \end{bmatrix}$

2.2 Sobel 梯度算子

Sobel 算子是一种离散的微分算子，是高斯平滑和微分求导的联合运算，抗噪声能力强。

Sobel 梯度算子利用局部差分寻找边缘，计算得到梯度的近似值。

Sobel 梯度算子的卷积核为：
$Kx=[−101−202−101],Ky=[−1−2−1000121]K_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 &1\\ -2 & 0 &2\\ -1 & 0 &1\\ \end{bmatrix}, \ K_y = \begin{bmatrix} -1 &-2 &-1\\ 0 &0 &0\\ 1 &2 &1\\ \end{bmatrix}$

2.3 Scharr 梯度算子

Scharr 算子是 Soble 算子在 ksize=3 时的优化，与 Soble 的速度相同，且精度更高。Scharr 算子与 Sobel 算子的不同点是在平滑部分，其中心元素占的权重更重，相当于使用较小标准差的高斯函数，也就是更瘦高的模板。

Scharr 算子的卷积核为：
$Gx=[−303−10010−303],Gy=[−310−300103103]G_x = \begin{bmatrix} -3 & 0 &3\\ -10 & 0 &10\\ -3 & 0 &3\\ \end{bmatrix}, \ G_y = \begin{bmatrix} -3 &10 &-3\\ 0 &0 &10\\ 3 &10 &3\\ \end{bmatrix}$

3. 【例程】梯度算子的传递函数

本例程给出由空间滤波器核计算频域传递函数的子程序，比较常用空间域滤波器和梯度算子的传递函数。

import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltdef getTransferFun(kernel, r):  # 计算滤波器核的传递函数hPad, wPad = r-kernel.shape[0]//2, r-kernel.shape[1]//2kernPadded = cv.copyMakeBorder(kernel, hPad, hPad, wPad, wPad, cv.BORDER_CONSTANT)kernFFT = np.fft.fft2(kernPadded)fftShift = np.fft.fftshift(kernFFT)kernTrans = np.log(1 + np.abs(fftShift))transNorm = np.uint8(cv.normalize(kernTrans, None, 0, 255, cv.NORM_MINMAX))return transNormif __name__ == '__main__':radius = 64plt.figure(figsize=(9, 5.5))# (1) 盒式滤波器plt.subplot(241), plt.axis('off'), plt.title("1. BoxFilter")kernBox = np.ones((5,5), np.float32)  # BoxF 滤波器核HBox = getTransferFun(kernBox, radius)  # BoxF 传递函数plt.imshow(HBox, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (2) 高斯低通滤波器plt.subplot(242), plt.axis('off'), plt.title("2. Gaussian")kernX = cv.getGaussianKernel(5, 0)  # 一维高斯核kernGaussian = kernX * kernX.T  # 二维高斯核HGaussian = getTransferFun(kernGaussian, radius)  # 高斯低通传递函数plt.imshow(HGaussian, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (3) 拉普拉斯算子 K1plt.subplot(243), plt.axis('off'), plt.title("3. Laplacian K1")kernLaplacian1 = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]])  # Laplacian K1hLaplacian1 = getTransferFun(kernLaplacian1, radius)  # Laplacian K1 传递函数plt.imshow(hLaplacian1, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (4) 拉普拉斯算子 K2plt.subplot(244), plt.axis('off'), plt.title("4. Laplacian K2")kernLaplacian2 = np.array([[1, 1, 1], [1, -8, 1], [1, 1, 1]])  # Laplacian K2hLaplacian2 = getTransferFun(kernLaplacian2, radius)  # Laplacian K2 传递函数plt.imshow(hLaplacian2, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (5) Sobel 算子，X轴方向plt.subplot(245), plt.axis('off'), plt.title("5. Sobel-X")kernSobelX = np.array([[-1, 0, 1], [-2, 0, 2], [-1, 0, 1]])HSobelX = getTransferFun(kernSobelX, radius)  # Sobel-X 传递函数plt.imshow(HSobelX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (6) Sobel 算子，Y轴方向plt.subplot(246), plt.axis('off'), plt.title("6. Sobel-Y")kernSobelY = np.array([[-1, -2, -1], [0, 0, 0], [1, 2, 1]])HSobelY = getTransferFun(kernSobelY, radius)  # Sobel-Y 传递函数plt.imshow(HSobelY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (7) Scharr 算子，X轴方向plt.subplot(247), plt.axis('off'), plt.title("7. Scharr-X")kernScharrX = np.array([[-3, 0, 3], [-10, 0, 10], [-3, 0, 3]])HScharrX = getTransferFun(kernScharrX, radius)  # Scharr-X 传递函数plt.imshow(HScharrX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (8) Scharr 算子，Y轴方向plt.subplot(248), plt.axis('off'), plt.title("8. Scharr-Y")kernScharrY = np.array([[-3, -10, -3], [0, 0, 0], [3, 10, 3]])HScharrY = getTransferFun(kernScharrY, radius)  # Scharr-X 传递函数plt.imshow(HScharrY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)plt.tight_layout()plt.show()