不同进制之间的转化

将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。

假设当前数字是 N 进制，那么：

	对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于Ni-1对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N-j。

通俗的理解，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是 1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1整数部分
将八进制数字 53627 转换成十进制：

53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 8的0次方=1，第2位的位权为 8的1次方=8，第3位的位权为 8的2次方=64，第4位的位权为 8的3次方=512，第5位的位权为 8的4次方=4096 …… 第n位的位权就为 8的n-1次方。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。

将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制：

9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 16的0次方=1，第2位的位权为 16的1次方=16，第3位的位权为 16的2次方=256，第4位的位权为 16的3次方=4096，第5位的位权为 16的4次方=65536 …… 第n位的位权就为 16的n-1次方。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：

11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 2的0次方=1，第2位的位权为 2的1次方=2，第3位的位权为 2的2次方=4，第4位的位权为 2的3次方=8，第5位的位权为 2的4次方=16 …… 第n位的位权就为 2的n-1次方。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

2 小数部分
将八进制数字 423.5176 转换成十进制：

423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8的-1次方=1/8，第2位的位权为 8的-2次方=1/64，第3位的位权为 8的-3次方=1/512，第4位的位权为 8的-4次方=1/4096 …… 第m位的位权就为 8的-m次方。

将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：

1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2的-1次方=1/2，第2位的位权为 2的-2次方=1/4，第3位的位权为 2的-3次方=1/8，第4位的位权为 2的-4次方=1/16 …… 第m位的位权就为 2的-m次方。

更多转换成十进制的例子：

二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）

二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）

八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）

八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）

十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）

将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面跟随我一起来看看吧。

1 整数部分
十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：

	将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；

……
如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。

将十进制数字 36926 转换成八进制
在这里插入图片描述

从上图中得知，十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。

将十进制数字 42 转换成二进制
在这里插入图片描述

从上图中得知，十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。

2 小数部分
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列”法。具体做法是：

	用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；

……

		如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了 N 进制小数。

将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数
在这里插入图片描述

从上图中得知，十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数
在这里插入图片描述

从上图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。

	十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。

下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系：
在这里插入图片描述

注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。
示例如下

	十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一个循环小数；十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一个循环小数；十进制 0.625 对应的二进制为 0.101，是一个有限小数。