目录

1.特征根判别法

AR(p)模型对应齐次方程特征根与回归系数多项式根的关系：

2.平稳域判别

（1）AR(1)(一阶)模型平稳域

（2）AR(2)(二阶)模型平稳域

3.举例

4.函数展开成幂级数——麦克劳林级数

小结

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1.特征根判别法

AR模型可以看作非齐次差分方程，它的解不妨记作

平稳条件：|| < 1

• AR模型平稳 <——> 特征根都在单位圆内

AR(p)模型对应齐次方程特征根与回归系数多项式根的关系：

中心化AR(p)模型：

对应齐次方程的特征方程：

自回归系数多项式：

我们令   得：

令上式等于 0 ，可知，根为倒数关系。

2.平稳域判别

AR(p)模型

平稳   <——>  { | 特征根都在单位圆内}

对于低阶自回归模型通常更为简便。

（1）AR(1)(一阶)模型平稳域

模型：

特征方程：

特征根：

（2）AR(2)(二阶)模型平稳域

模型：

特征方程：

特征根：

平稳域：

平稳域的条件有：

由上述条件我们可以推导如下：

再把上述平稳域可视化，如下

3.举例

例子仍为上篇文章中的例子：传送门 

在上一篇文章，我们用R通过绘图，知道了它们是否为平稳性，接下来我们通过特征根和平稳域来判别一下它们的平稳性

第一个：一阶平稳

特征根判别：

因为     - 0.8 = 0 ，所以得到   = 0.8 。又因为|| < 1，所以 平稳。

平稳域判别：

可知，，因为  ，所以平稳

第二个：一阶非平稳

特征根判别：

因为     - (-1.1)= 0 ，所以得到   = 1.1 。又因为|| <>1，所以 非平稳。

平稳域判别：

可知，，因为  ，所以 非平稳

第三个：二阶平稳

特征根判别：

 解的：

又因为 模（长度）  ，所以 平稳

平稳域判别：

 

 

所以平稳

第四个：二阶非平稳

特征根判别：

解得：

因为  不在单位圆内，所以 非平稳

平稳域判别：

 >1 

4.函数展开成幂级数——麦克劳林级数

如：

小结

1.

AR(p)模型 ：

 可简记为：

 p阶自回归系数多项式 ：

2. 平稳性判定

单位根  特征根都在单位圆内

平稳域

3.函数展开成幂级数——麦克劳林级数