目录

1.均值

 Green函数定义

Green函数递推公式

2.方差

举例：

方法1：

方法2：

3.协方差函数

举例1：

举例2：

4.自相关系数

常用的ARA模型自相关系数递推公式：

AR模型自相关系数的性质

 举例

5.偏自相关系数

Yule - Walker 方程组：

AR模型偏相关系数的截尾性

再讲一下AR模型的具体偏相关系数的解：

举例：

总结：

---

1.均值

如果AR(p)模型满足平稳性条件，则

 Green函数定义

AR模型得传递形式：

因为均值的性质，则有：

则，求得Xt 为

则有Green函数：

记   

则模型可简记为    

Green函数递推公式

因为：

 则有：

再可解得：

则有得出规律公式为：

则有总结如下：

2.方差

平稳AR模型得传递形式

两边求方差得

举例：

方法1：

根据Green函数：

可求得如下：

最后得出平稳AR(1)模型的方差

方法2：

平稳AR(1) 模型

两边求方差

AR(2)模型的方差为：

利用Green 函数可以推导出 AR(2) 模型的方差为：

3.协方差函数

两边求期望得：

又因为  

可得到协方差函数得递推公式

举例1：

 AR(1)模型为：

递推公式：

因为 平稳AR(1)模型 具有如下：

则可得该协方差函数递推公式为：

举例2：

 协方差函数递推公式

令 k = 1 可得：

于是可得如下结论：

4.自相关系数

通过上式，可得到下式：

则自相关系数得定义为

则有平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式

常用的ARA模型自相关系数递推公式：

其中 AR(1)模型为

AR(2)模型为

AR模型自相关系数的性质

模型：

得齐次差分方程：

设通解形式为

呈指数衰减

性质：拖尾性*：

 举例

5.偏自相关系数

定义：

对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间 k-1 个随机变量   的条件下，或者说，在剔除了中间 k-1 个随机变量的干扰之后， 对  影响的相关度量。用数学语言描述就是

 其中：

偏相关系数的计算：

用过去的k期序列值对作k阶自回归拟合：此为式1

取条件期望：此为式2

1式 - 2式 ： 

Yule - Walker 方程组：

两边同时乘  ，取期望 ：

取前 k 个构成 Yule - Walker 方程组 ：

解方程组可得可得延迟k偏自相关系数  

Yule - Walker 方程求解：

Yule - Walker 方程写成矩阵形式为：

根据 Cramer 法则：

其中

AR模型偏相关系数的截尾性

AR模型：

自相关系数：

Yule - Walker 方程成立：

当 p>k 时：

 则有：

再讲一下AR模型的具体偏相关系数的解：

 AR(1)模型：

Yule - Walker 方程：

偏自相关系数的解：

AR(2)模型：

Yule - Walker 方程：

对 AR(2) 模型又有：

从而得到偏自相关系数的解：

举例：

例1：

 根据 AR(1) 模型的偏相关系数的解：

可得该问题的偏相关系数为：

例2：

根据 AR(2) 模型的偏相关系数的解：

可得该问题的偏相关系数为：

总结：

平稳AR模型得统计性质：

1.均值

2.方差

3.协方差函数

4.自相关系数

常用得AR模型自相关系数递推公式

AR模型自相关系数的性质： 拖尾性