如下图：过椭圆内一点作的直线交椭圆于，两点．是椭圆上相异的两点，满足分别平分,，求外接圆半径的最小值.
解：作的外角角平分线与的延长线交于，的外角平分线与的延长线交于，根据内外角平分线定理(调和点列、交比)等有关性质，可得
故两点重合，记为. 进一步根据内角平分线的性质可知：从而四点共圆且是以为直径的圆(此圆又称为为阿波罗尼斯圆).
根据调和点列有关的性质(极点，极线有关的结论)当绕着转动时，点将在直线上动.并且这条直线为相对于椭圆的极线，设的坐标为,根据换半边的想法得的轨迹方程为：经计算机演示如下：
现给予代数证明：设,,,,,由,得：
由得：
而点在椭圆上：
根据整体运算，容易得到：
化简得;
由为直径，故,而的最小值即为
从而
关于调和点列、极点、极线、阿氏圆、内外角平分线定理在竞赛中是作为基本模型和结论进行研究，在小题中以这种隐晦背景作为结论进行研究，实在不是一个好题，并且绝大多数同学不了解，如果把(2,1)这个点改特殊一点，相信不少同学可以通过特殊情况进行求解.如果改成大题，进行合理的铺垫，将题目中条件改变，改成与隐性轨迹有关的几何最值问题，也算是一个比较好的题勒.
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