线性表及其实现

多项式的表示

[例] 一元多项式及其运算
一元多项式：这里写图片描述
主要运算：多项式相加、相减、相乘等
【分析】如何表示多项式?
多项式的关键数据：
多项式项数n
各项系数ai 及指数 i
方法1：顺序存储结构直接表示
数组各分量对应多项式各项： a[i]: 项xi的系数ai
这里写图片描述
方法2：顺序存储结构表示非零项

按指数大小有序存储！
相加过程：从头开始，比较两个多项式当前对应项的指数

方法3：链表结构存储非零项
这里写图片描述

什么是线性表

多项式表示问题的启示：
1. 同一个问题可以有不同的表示（存储）方法
2. 有一类共性问题：有序线性序列的组织和管理
线性表(Linear List) : 由同类型数据元素构成有序序列的线性结构
1.表中元素个数称为线性表的长度
2.线性表没有元素时，称为空表
3.表起始位置称表头，表结束位置称表尾

线性表的抽象数据类型描述

类型名称：线性表（List）

数据对象集：线性表是 n (≥0)个元素构成的有序序列( a1, a2,… ,an )

操作集：线性表L属于 List，整数i表示位置，元素X 属于 ElementType，线性表基本操作主要有：

1、List MakeEmpty()：初始化一个空线性表L；
2、ElementType FindKth( int K, List L )：根据位序K，返回相应元素；
3、int Find( ElementType X, List L )：在线性表L中查找X的第一次出现位置；
5、void Delete( int i, List L )：删除指定位序i的元素；
6、int Length( List L )：返回线性表L的长度n。

线性表的顺序存储实现

利用数组的连续存储空间顺序存放线性表的各元素
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主要操作的实现

typedef int Position;
typedef struct LNode *List;
struct LNode {ElementType Data[MAXSIZE];Position Last;
};/* 初始化 */
List MakeEmpty()
{List L;L = (List)malloc(sizeof(struct LNode));L->Last = -1;return L;
}/* 查找 */
#define ERROR -1Position Find( List L, ElementType X )
{Position i = 0;while( i <= L->Last && L->Data[i]!= X )i++;if ( i > L->Last )  return ERROR; /* 如果没找到，返回错误信息 */else  return i;  /* 找到后返回的是存储位置 */
}/* 插入 */
/*注意:这里P是存储下标位置（从0开始）*/
bool Insert( List L, ElementType X, Position P ) 
{ /* 在L的指定位置P前插入一个新元素X */Position i;if ( L->Last == MAXSIZE-1) {/* 表空间已满，不能插入 */printf("表满"); return false; }  if ( P<0 || P>L->Last+1 ) { /* 检查插入位置的合法性 */printf("位置不合法");return false; } for( i=L->Last; i>=P; i-- )L->Data[i+1] = L->Data[i]; /* 将位置P及以后的元素顺序向后移动 */L->Data[P] = X;  /* 新元素插入 */L->Last++;       /* Last仍指向最后元素 */return true; 
} /* 删除 */
/*注意:这里P是存储下标位置（从0开始）/
bool Delete( List L, Position P )
{ /* 从L中删除指定位置P的元素 */Position i;if( P<0 || P>L->Last ) { /* 检查空表及删除位置的合法性 */printf("位置%d不存在元素", P ); return false; }for( i=P+1; i<=L->Last; i++ )L->Data[i-1] = L->Data[i]; /* 将位置P+1及以后的元素顺序向前移动 */L->Last--; /* Last仍指向最后元素 */return true;   
}

线性表的链式存储实现

不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻；通过“链”建立起数据元素之间的逻辑关系。
插入、删除不需要移动数据元素，只需要修改“链”。
访问序号为 i 的元素？求线性表的长度？

int  Length ( List  PtrL ) {    List  p = PtrL;       /* p指向表的第一个结点*/ int  j = 0;      while ( p ) {             p = p->Next;             j++;    /* 当前p指向的是第 j 个结点*/      }         return  j; 
}

typedef struct LNode *PtrToLNode;
struct LNode {ElementType Data;PtrToLNode Next;
};
typedef PtrToLNode Position;
typedef PtrToLNode List;/* 查找 */
#define ERROR NULLPosition Find( List L, ElementType X )
{Position p = L; /* p指向L的第1个结点 */while ( p && p->Data!=X )p = p->Next;/* 下列语句可以用 return p; 替换 */if ( p )return p;elsereturn ERROR;
}/* 带头结点的插入 */
/*注意:这里P是链表结点指针，在P之前插入新结点 */
bool Insert( List L, ElementType X, Position P )
{ /* 这里默认L有头结点 */Position tmp, pre;/* 查找P的前一个结点 */        for ( pre=L; pre&&pre->Next!=P; pre=pre->Next ) ;            if ( pre==NULL ) { /* P所指的结点不在L中 */printf("插入位置参数错误\n");return false;}else { /* 找到了P的前一个结点pre *//* 在P前插入新结点 */tmp = (Position)malloc(sizeof(struct LNode)); /* 申请、填装结点 */tmp->Data = X; tmp->Next = P;pre->Next = tmp;return true;}
}/* 带头结点的删除 */
/*注意:在删除位置参数P上与课程视频有所不同，课程视频中i是序列位序（从1开始），这里P是拟删除结点指针 */
bool Delete( List L, Position P )
{ /* 这里默认L有头结点 */Position tmp, pre;/* 查找P的前一个结点 */        for ( pre=L; pre&&pre->Next!=P; pre=pre->Next ) ;            if ( pre==NULL || P==NULL) { /* P所指的结点不在L中 */printf("删除位置参数错误\n");return false;}else { /* 找到了P的前一个结点pre *//* 将P位置的结点删除 */pre->Next = P->Next;free(P);return true;}
}

广义表(Generalized List)
广义表是线性表的推广
对于线性表而言， n个元素都是基本的单元素；
广义表中，这些元素不仅可以是单元素也可以是另一个广义表
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多重链表：
链表中的节点可能同时隶属于多个链
多重链表中结点的指针域会有多个，如前面例子包含了Next和 SubList两个指针域；但包含两个指针域的链表并不一定是多重链表，比如在双向链表不是多重链表。
多重链表有广泛的用途：基本上如树、图这样相对复杂的数据结构都可以采用多重链表方式实现存储。

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矩阵可以用二维数组表示，但二维数组表示有两个缺陷：
数组的大小需要事先确定，对于“稀疏矩阵 ”，将造成大量的存储空间浪费
采用一种典型的多重链表——十字链表来存储稀疏矩阵
只存储矩阵非0元素项结点的数据域：行坐标Row、列坐标Col、数值Value
每个结点通过两个指针域，把同行、同列串起来;
行指针(或称为向右指针)Right
列指针（或称为向下指针）Down

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用一个标识域Tag来区分头结点和非0元素结点：
头节点的标识值为“Head”，矩阵非0元素结点的标识值为“Term”。