史上最容易理解的暴力递归和动态规划~~

    介绍递归和动态规划

暴力递归：
1， 把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题
2， 有明确的不需要继续进行递归的条件(base case)
3， 有当得到了子问题的结果之后的决策过程

4， 不记录每一个子问题的解（区别于动态规划2）

动态规划
1， 从暴力递归中来
2， 将每一个子问题的解记录下来， 避免重复计算
3， 把暴力递归的过程， 抽象成了状态表达

4， 并且存在化简状态表达， 使其更加简洁的可能

动态规划其实是由暴力递归演变而来的，每个动态规划的接法基本都能找到其动态规划的版本~

他们的关系如下：

暴力递归------》依赖关系（套路，即记忆关系）------》动态规划

下面以一道题为例子来向大家详细的介绍一下：

先理解一下题意：

给定一个数组和一个整数，可以随便选择arr数组里面的数字，看看累加起来能不能得到aim，可以得到就返回true，不可以返回false

eg ：arr[] = { 3, 2, 9, 7 };  Aim = 21;返回true 3+2+9+7=21

        arr[] = { 3, 2, 9, 7 }; Aim = 13;返回false，无法组合得到13

思路分析：

先用暴力递归的方式来解决：

先看一下方法的参数，参数有arr[]和Aim是题目提供的，我们自己定义的有i和sum，这两个参数是什么意思呢？

他们的含义是，在一个数组中，从i下标开始，可以任意去i后面的数进行累加，累加的和为sum，看图：

如果你能想到这个图或者说看到这个图，你就已经成功了一半~~

可以发现，要判断这个数组中是否有满足要求的组合，只要看最后一行是否有相应的aim值就可以了。

所以，就有了下面的暴力递归：

暴力递归之后，就是动态规划了~

来来来，重点来了，从暴力递归转变到动态规划，跟题意是没有半毛钱关系的~

下面划重点了：

暴力递归------》依赖关系（套路，即记忆关系）------》动态规划

这里还差了个依赖关系：

啥都别说了，先画个图吧嘻嘻~

还是以上面那个例子为主：

arr[3] = {2,3,7};

aim = 10;

那么i的取值范围就是0~3了

sum的取值则是2+3+7=12即（0~12）

先看暴力破解法的basecase：

辣么，第三行sum等于Aim的值就为true，其他为false；

再看基本关系：

通过细细分析，可以得到下面的依赖关系图了~

图中的方框加×是（i，sum）的依赖，也就是说，要想得到（I，sum）的值，只要知道两个方框加×里面的值就可以推出来了（ 不是我说的，是程序里面体现出来的）那么，因为第三列的值都知道了，那么其他列的值肯定也可以通过这一列的值推出来，那么我们所要求的（0，0）的值不就出来了吗？

这个依赖关系出来之后，那么动态规划的解也就出来了~~~（开心）

其实这个方法我也是思考了很久才领悟的~

希望对你们也能有所帮助~~不懂欢迎留言，懂得帮忙点个赞~~~