matlab表示DFT和DTFT,【 MATLAB 】离散傅里叶级数(DFS)与DFT、DTFT及 z变换之间的关系...

上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系,简单地说,DFT就是DFS在一个周期内的表现。

为了后面讨论方便,这里给出DFS的系数公式(分析公式):

9f199b472d19f3e828eccb6f07d2f8f1.gif                                                                                                        (1)

其中:

5d6bb71c377d1c513cba45efd4921643.gif

综合公式:

59609d18ad7d4089b83bba3a6ab7762c.gif                                                                                              (2)

为了对比,给出DFT的分析公式:

80ac3f07c63868370f3ef829f9e50244.gif                                                         (3)

50f5e16412306903ce846d291cf7950c.gif                                                                                                      (4)

综合公式:

ddb461791b9c2a69756b326de063a6aa.gif                                                                                                          (5)

cb4262cef1364ac3a0bed49d96a6f703.gif                                                                                              (6)

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系:

设 x(n) 为一有限长序列,长度为N,即,

2200344009a4bbdc7b4f7ee2c2067c59.gif                                                                                                          (7)

那么,能求它的 z 变换为:

9da2c263ba87b10a91363d509d1587d4.gif                                                                                                                                     (8)

现在,以周期N,周期重复x(n)构造一个周期序列

c7606a0978dc8705b9a492bd42c1bed9.gif,即

de6156c97c0f7013f7db8fd55b049a96.gif                                                                                                                  (9)

ecf942fdbe83c013adbd7b0422eb3836.gif 的DFS给出为:

14b0278fe3d00bf302bfba0a66340d11.gif                                                                                           (10)

将(10)式与 z 正变换公式(8)比较后,得到:

7cb4136cfc7a67e2ef5d31e889a1ac09.gif                                                                                                                                    (11)

这就是说,DFS

0e8cbb0eba41fc259518b7c86e475da8.gif代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系,DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚,如下:

先给出DTFT的公式:

281a7a7480323b13634453e17ebd4a5c.gif                                                                                                 (12)

对比z变换的公式(8),不难看出:

b78ed497a5b4aa2d85e788a116a3623f.gif                                                                                                                                     (13)

为了避免某些人的抗议,我们不得不做出声明,这里都是针对有限长序列推导的公式,无论针对其他任何可行信号,推导的关系最后都是一样的。

从(13)式可以看出,DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系,关系是,DFS

1a6dca2129b4c814dfbd2b74afe82301.gif代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系,我们是不是可以说DFS

33d4c8e9db716afa03161765d87ad55a.gif是对DTFT 

8f1609b2567805f742625e21cc4ed542.gif上的等间隔采样。采样间隔为

871781290314e08717ba18a8283e838d.gif,下面我们正式推导二者间的关系。

式(12)为:

759c5883b6713926496db6a41f7d6f97.gif

DFS为:

7a5b070ad85f3255b234c12f1131edae.gif

0ee4493255c2d2aec341b7680f5118aa.gif

可以看出,

d7ad4262dcdd616b62754a2df1f662cb.gif                                                                                                                                                 (14)

24da2265710fbc86a03dd02e86fc44fb.gif                                                                                                                                    (15)

这样,

f4e368fc6f7445ae70d0a0d020f507b2.gif                                                                                                                               (16)

这意味着 DFS 可以通过以

2c802316605c96855d1eccefaaf96d7b.gif为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子(13):

2360feb0304022cbc064c4d27cb18aa4.gif

以及式子(14):

2c73f3bb63a944f7fe185f879a3db334.gif

可见,DFS 表示给出了一种在频域的采样机理;而这个在原理上类似于时域采样。

间隔

f86669dfac1021c75f1fcb74acf9bd80.gif 是在频域上的采样间隔,也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

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