上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系,简单地说,DFT就是DFS在一个周期内的表现。
为了后面讨论方便,这里给出DFS的系数公式(分析公式):
(1)
其中:
综合公式:
(2)
为了对比,给出DFT的分析公式:
(3)
(4)
综合公式:
(5)
(6)
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系:
设 x(n) 为一有限长序列,长度为N,即,
(7)
那么,能求它的 z 变换为:
(8)
现在,以周期N,周期重复x(n)构造一个周期序列
,即
(9)
的DFS给出为:
(10)
将(10)式与 z 正变换公式(8)比较后,得到:
(11)
这就是说,DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
接着讨论DFS和DTFT的关系。
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系,DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚,如下:
先给出DTFT的公式:
(12)
对比z变换的公式(8),不难看出:
(13)
为了避免某些人的抗议,我们不得不做出声明,这里都是针对有限长序列推导的公式,无论针对其他任何可行信号,推导的关系最后都是一样的。
从(13)式可以看出,DTFT是单位圆上的z变换。
上面又说了DFS和z变换的关系,关系是,DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
结合z变换和DTFT之间的关系,我们是不是可以说DFS
是对DTFT
上的等间隔采样。采样间隔为
,下面我们正式推导二者间的关系。
式(12)为:
DFS为:
可以看出,
(14)
令
(15)
这样,
(16)
这意味着 DFS 可以通过以
为间隔对DTFT均匀采样而得到。
由式子(13):
以及式子(14):
可见,DFS 表示给出了一种在频域的采样机理;而这个在原理上类似于时域采样。
间隔
是在频域上的采样间隔,也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
本文同步分享在 博客“李锐博恩”(CSDN)。
如有侵权,请联系 support@oschina.cn 删除。
本文参与“OSC源创计划”,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。