编写程序，求n至少为多大时，n个1组成的整数能被2013 整除。
使用python黑科技:
i = 1
while int('1' * i) % 2013:
i += 1
print(i)
不使用黑科技:
i = s = t = 1
while s % 2013:
i += 1
t = t * 10 % 2013
s = (s + t) % 2013
print(i)
而事实上可以从数论的角度看。
2013=3*11*61
，故:
欲被3整除，n得是3的倍数
欲被11整除，n得是2的倍数
故 n 是 6 的倍数。
而n个1若被 61 整除，则n个9亦然。因为 61 和 10 互素，由费马小定理知 60 符合条件。故只须尝试 6，12，30 这三个数即可。
楼上已经有答案了，但私以为没有解释的很详细，因此才有此次回答。
首先，先列下本次回答的题纲:
代码解法(由于没有做要求，就用JS实现了)
数论解法(费马小定理)
代码解法
function getMinDividedNum(n) {
var sum = 1,
len = 1;
while (sum % n) {
len++;
sum = (sum % n) * 10 + 1;
}
return len;
}
// 测试用例-注意，并不是所有数字都能输入，只能是素数或者由素数乘积组成的数
var num = 2013;
console.log('n:' + num + ',len:' + getMinDividedNum(num));
//输出:n:2013,len:60
代码详解
以上代码的核心其实就是判断
1,11,111
等N位数能否被n整除，也就是
sum=sum*10+1
。
但是考虑到最大值边界问题，于是将上述公式换为了
sum= (sum % n)*10+1
之所以能这样转换，是因为: (举例)
譬如判断
111
是否能被3整除
可以是
(1*10+1)*10+1
也可以是判断
第一步: 1%3=1 (1整除3的余数为1)
第二步: 11%3=2 (11整除3的余数为2)
第三步: 21%3=0 (符合条件)
换一个思路，假如判断(8+7)是否能被3整除，那么我们只需要现将它们能被3整除的部分去除调，用余数累加起来判断即可，也就是说只需要判断
2+1
能否被3整除即可
数论解法
费马小定理简介
首先得知道的是，费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况，欧拉定理描述的是关于同余的性质，而费马定理如下:
假如a是整数，p是质数，且a，p互质(两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
即
a^(p-1)%p=1
费马小定理在本题中的应用
关键来了，本题与费马小定理有什么关系呢？
如上楼中有人提到，本题中，
2013=3*11*61
，所以需要满足
能被3整除
能被11整除
能被61整除
而前两者很容易就根据下面的条件判断出:
若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
因此马上就可以将条件转换为:
n得是3的倍数(因为n个1加起来要是3的倍数)
n得是2的倍数(奇位和偶数直接的差为0)
因此n是6的倍数
n个1这个数(x)能被61整除
接下来就剩下了一个问题: n个1能被61整除，需要满足什么？接下来费马小定理就派得上用处了。
我们可以得知: 61和10互素。
所以套用上述的公式，可以得出:
10^(60)%61=1
所以:
10^(60)-1=0 (mod 61)
而
10^60 -1
就是
60个9组成的数
，也就是说 60个9组成的数能够被61整除。
那么自然60个1组成的数能够被61整除(因为61与3无关)，同时60又是6的倍数，因此满足条件。
更新，之前有不严谨之处
继续判断，60的符合条件的约数(6的倍数)有，6，12，30，60。
检查计算得出后可以知道只有60满足条件。
因此得出了结论: n至少为60时，n个1组成的数能够被2013整除
function sum($num,$int=1){
$sum = 0;
foreach (range(0,$num-1) as $key => $value) {
$sum += $int*pow(10,$value);
}
return $sum;
}
$i=1;
while($i++) {
if (sum($i) % 2013 == 0) {
echo $i;//26
break;
}
}
var num = 2013;
var pow = Math.pow;
var floor = Math.floor;
var result = '';
var temp = 0;
var i = 0;
var flag = true;
while(flag){
for (var n = 0; n < 10; n++) {
if ((3 * n + (temp%10)) % 10 === 1) {
result = n + result;
temp = floor((num*result)/pow(10, i + 1));
break;
}
}
if(/1{3,4}/.test(temp.toString())){
flag = false;
}
i++;
}
console.log(result);//55196776508251918087983661754153557432245956836120770547
console.log(result*2013);//1.1111111111111112e+59
跟楼上大神推理的结果一致，60个
