如果信号x(t)是周期信号，那么对于所有t，存在一个最小正数T，使得x(t)=x(t+T)其中T为这个周期信号的最小正周期。根据周期函数的周期性:x(t)=x(t+N*T)(N为整数)

称为这个信号的基波频率

周期信号x(t)也可以用周期复指数信号表示则因为x(t)是周期信号，那么

所以那么周期信号T必须满足倍数关系，也就是N*2π倍数关系(N为整数)，而不能是非2π倍数关系。对于复指数信号的最小正周期为T，同时对应的基波频率w₀，然而这个复指数信号可能含有其他谐波频率的复指数，而这些复指数是以T为基准周期的，实际上比最小正周期T小。而谐波复指数信号的周期必须是最小正周期的T\K，(其中K为非零整数)，复指数信号才可能含有谐波复指数信号。例如：这个周期函数最小正周期2π，但含有3次谐波的函数，3次谐波周期为基波周期的2π\3，因此这个信号中不仅有基波信号，还有三次谐波信号。在一个最小正周期内,只有最小正周期是谐波周期的整数倍时，两者波形的起点和终点才能重合。周期信号x(t)是以T为最小正周期的，与x(t)有关的周期谐波复指数信号集合可以表示如下：那么对于一个周期为T₀的信号就可用周期复指数谐波信号叠加而成。上式的表达式就是傅里叶级数，其中a_k代表周期复指数谐波信号的振幅分量，又称傅里叶系数或者频谱系数，w₀代表信号的基波频率，kw₀代表谐波频率，当K=0时为常数，当K=1时为基波频率，当K=2时为2次谐波。以周期为T₀的信号可以用复指数谐波信号叠加而成，那么应该如何求解傅里叶系数呢？方程两边同时乘以-jnwt，两边同时积分。如果周期信号为实信号，傅里叶系数存在以下关系a_k^*=a_-k(a_k的共轭复数等于a_-k)证明：如果x(t)是实周期函数，那么有x(t)^*=x(t)(共轭关系)令k=-k，目的是调换位置，使得复指数项从负到正。因为 比较两式得：从而a_k的共轭等于a_-k。例题1：x(t)是以基波频率为2π的周期信号，x(t)写成以下形式。其中，a₀=1,，a₁=a_-1=1/4，a₂=a_-2=1/2，a₃=a_-3=1/3，求其傅里叶展开式解：将(1-1)式中具有同一谐波频率的谐波分量合在一起，重新组合得例题2：x(t)是sint，基波频率为2π的实信号，求其傅里叶展开式。由欧拉公式得：则则k₁=1/2j，k_-1=-1/2j,a_k=0(k≠±1)例题3，在电工学中，函数信号发生器可以产生方波，方波的幅值和相角可以调整，为了方便，设定原点为方波的对称点，幅值为1，最小正周期为2，波形以下展示。f(t)的周期为2，频率为π，f(t)用傅里叶级数展开通过推导联立两个方程：用三角级数表示取k=17，自变量t为2π，Matlab代码如下：>> clear all>> x=0:0.001:2*pi;>> y=4/pi*(sin(pi*x)+1/3*sin(3*pi*x)+1/5*sin(5*pi*x)+1/7*sin(7*pi*x)+1/9*sin(9*pi*x)+1/11*sin(11*pi*x)+1/13*sin(13*pi*x)+1/15*sin(15*pi*x)+1/17*sin(17*pi*x));>> plot(x,y,'b')输出二维图形如下：

例题4，如图所示是三角波周期函数，最小正周期为2，求其傅里叶展开式。f(t)的周期为2，基波频率为π，f(t)用傅里叶级数展开通过推导

联立两个方程，用三角级数表示也可以用Matlab进行傅里叶展开验证，取变量t为2π，k=11时，如下图所示。代码如下：>> clear all>> x=0:0.001:2*pi;>> y=0.5-4*(1/(pi*pi)*cos(pi*x)+1/(9*pi*pi)*cos(3*pi*x)+1/(25*pi*pi)*cos(5*pi*x)+1/(49*pi*pi)*cos(7*pi*x)+1/(81*pi*pi)*cos(9*pi*x)+1/(121*pi*pi)*cos(11*pi*x)+1/(169*pi*pi)*cos(13*pi*x));>> plot(x,y,'r')输出二维图形如下：

参考内容

[1]奥本海姆.信号与系统[M]，第二版，北京：电子工业出版社，2013.

[2]王晶,翁国庆.张有兵.电力系统的MATLAB/SIMMULINK仿真与应用[M],西安：西安电子科技大学出版社，2008.