贝塞尔曲线贝塞尔曲线(The Bézier Curves)，是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线(2D，3D的称为曲面)。贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
线性曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
当参数t变化时，其过程如下：
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B(t)所描述的曲线。例如当t=0.25时，B(t)即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B(t)描述一条由P0至P1的直线。二次曲线二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪：
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。* 由Q0至Q1的连续点B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。二次曲线看起来就是这样的：
三次曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。曲线的参数形式为：
看起来就是这样的：
高阶曲线更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用
表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
更多的关于贝塞尔曲线的内容，你可以去查阅各种数学书。
代码实现其实也非常简单，把公式套过来直接用起来就OK了。这里我以3次曲线为例
for (double k = t; k <= 1 + t; k += t) {
x = (1 - k) * (1 - k) * (1 - k) * ps[0].getX() + 3 * k * (1 - k) * (1 - k) * ps[1].getX()
+ 3 * k * k * (1 - k) * ps[2].getX() + k * k * k * ps[3].getX();
y = (1 - k) * (1 - k) * (1 - k) * ps[0].getY() + 3 * k * (1 - k) * (1 - k) * ps[1].getY()
+ 3 * k * k * (1 - k) * ps[2].getY() + k * k * k * ps[3].getY();
g2.drawOval((int) x, (int) y, 1, 1);
}
以上是核心算法，下面是完整代码：
package com.opentcs.customization;
import java.awt.Color;
import java.awt.Dimension;
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Graphics2D;
import java.awt.RenderingHints;
import java.awt.event.MouseEvent;
import java.awt.event.MouseListener;
import java.awt.event.MouseMotionListener;
import java.awt.geom.Ellipse2D;
import java.awt.geom.Point2D;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
public class BezierDemo extends JPanel implements MouseListener, MouseMotionListener {
private static final long serialVersionUID = 1L;
private Point2D[] ps;
private Ellipse2D.Double[] ellipse;
private static final double SIDELENGTH = 8;
private int numPoints;
private double t = 0.002;
public BezierDemo() {
numPoints = 0;
ps = new Point2D[4];
ellipse = new Ellipse2D.Double[4];
this.addMouseListener(this);
this.addMouseMotionListener(this);
}
@Override
protected void paintComponent(Graphics g) {
// TODO Auto-generated method stub
super.paintComponent(g);
Graphics2D g2 = (Graphics2D) g;
g2.setRenderingHint(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING, RenderingHints.VALUE_ANTIALIAS_ON);
g2.setColor(Color.BLUE);
for (int i = 0; i < numPoints; i++) { // 绘制圆点 if (i > 0 && i < (numPoints - 1)) { g2.fill(ellipse[i]); } else { g2.draw(ellipse[i]); } // 绘制点之间的连接线 if (numPoints > 1 && i < (numPoints - 1))
g2.drawLine((int) ps[i].getX(), (int) ps[i].getY(), (int) ps[i + 1].getX(), (int) ps[i + 1].getY());
}
if (numPoints == 4) {
double x, y;
g2.setColor(Color.RED);
for (double k = t; k <= 1 + t; k += t) {
x = (1 - k) * (1 - k) * (1 - k) * ps[0].getX() + 3 * k * (1 - k) * (1 - k) * ps[1].getX()
+ 3 * k * k * (1 - k) * ps[2].getX() + k * k * k * ps[3].getX();
y = (1 - k) * (1 - k) * (1 - k) * ps[0].getY() + 3 * k * (1 - k) * (1 - k) * ps[1].getY()
+ 3 * k * k * (1 - k) * ps[2].getY() + k * k * k * ps[3].getY();
g2.drawOval((int) x, (int) y, 1, 1);
}
}
}
@Override
public Dimension getPreferredSize() {
// TODO Auto-generated method stub
return new Dimension(600, 600);
}
public static void main(String[] agrs) {
JFrame f = new JFrame();
BezierDemo t2 = new BezierDemo();
f.add(t2);
f.pack();
f.setVisible(true);
f.setLocationRelativeTo(null);
f.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
}
@Override
public void mouseClicked(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
if (numPoints < 4) {
double x = e.getX();
double y = e.getY();
ps[numPoints] = new Point2D.Double(x, y);
Ellipse2D.Double current = new Ellipse2D.Double(x - SIDELENGTH / 2, y - SIDELENGTH / 2, SIDELENGTH,
SIDELENGTH);
ellipse[numPoints] = current;
numPoints++;
repaint();
}
}
private int flag = -1;
@Override
public void mousePressed(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
if (!find((Point2D) e.getPoint()))
flag = -1;
}
private boolean find(Point2D p) {
for (int i = 0; i < numPoints; i++) {
if (ellipse[i].contains(p)) {
flag = i;
return true;
}
}
return false;
}
@Override
public void mouseReleased(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
}
@Override
public void mouseEntered(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
}
@Override
public void mouseExited(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
}
@Override
public void mouseDragged(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
if (flag < 5 && flag >= 0) {
double x = e.getX();
double y = e.getY();
ps[flag] = new Point2D.Double(x, y);
Ellipse2D.Double current = new Ellipse2D.Double(x - SIDELENGTH / 2, y - SIDELENGTH / 2, SIDELENGTH,
SIDELENGTH);
ellipse[flag] = current;
repaint();
}
}
@Override
public void mouseMoved(MouseEvent e) {
// TODO Auto-generated method stub
}
}
效果图：
