最短哈密顿路径 c语言算法,最短路径系列【最短路径、哈密顿路等】

最短路径问题，一个经典算法问题。本文粗略总结了一种常见的最短路径算法，以及几个最短路径变种问题的解法，其中包括哈密顿路。对于有向图或者无向图，假设有V个节点，E条边，G[Vi,Vj]表示图中点Vi到Vj边的权值。dist[i]表示：点s到点i的最短路径。

一、单源最短路径

给定图G，求点对s->t之间的最短路径，该问题使用经典的dijkstra算法即可解决，时间复杂度O(V^2)。基本思想：两个集合S,T，S表示已经访问的点集合，T表示未访问的点集合，S初始为空，T包括所有点；每次从T集合中选取从s到该点距离最小的点cur，然后将点cur加入到S中(保证从s到S集合中的点之间的路径长度最小)，并且基于cur点为跳板，做松弛操作，更新s到T集合中其他点的距离，松弛操作即，如果dist[j]

> dist[cur] + G[cur,j]，更新dist[j] =

dist[cur]+G[cur,j]，其中j属于T集合；当cur==t时算法结束。

二、有负权边的图的单源最短路径

对于(一)中的dijkstra算法，是否可以用于求解带负权边的单源最短路径问题呢？用三元组(x,y,w)表示一条边权为w的从点x到点y的有向边。先举例看看，假设图中包含3个节点，包含3条边：(1，2，-3)、(2，3，1)、(3，1，1)，从图可以看出为一个环1->2->3->1，且环的边权总权值为-3+1+1=-1，那么通过一直循环，那么图中任意两点之间的最短路径都为-oo大，因此不能通过dijkstra来求解最短路径，因为出现负环之后破坏了“从s到集合S中点之间路径长度最小”这点，通过负环的循环，s到S中点之间的路径长度还可以变小。

对付有负权边的单源最短路径问题，可以采用bellman-ford算法、SPFA算法。

Bellman-ford算法思想：dist[s] = 0,其他点i

,dist[i]=oo。进行V-1次循环，每一次循环：对图每一条边E(i,j)两边的点做松弛操作，如果dist[j]

> dist[i] + G[i,j]，更新dist[j] =

dist[i]+G[i,j]。完成V-1次循环后，进行判断：如果存在一条边E(i,j)，如果dist[i]+G[i,j]

dist[j]，那么图中存在负权环。如果不存在负权环，则dist[t]为从s到t的最短路径。算法复杂度O(VE)。

SPFA算法思想：维护一个队列Q，队列初始只有s点，一个标记数组flag，flag[i]=1表示节点i在队列中，否则表示不在队列中，一个cnt数组，cnt[i]标记点i进入队列的次数。求队首元素cur，对于边E(cur,j)，进行松弛操作：如果dist[j]

> dist[cur] + G[cur,j]，更新dist[j] =

dist[cur]+G[cur,j]，如果j不在队列中，则将j加入队尾，同时判断j进入队列次数是否大于V-1，如果大于V-1，说明存在负权环，算法结束，否则一直进行，直到队列为空为止。算法复杂度O(2E)。

三、大规模的图，顶点多的稀疏图

Dijkstra算法复杂度为O(V^2)，如果图的规模太大，那么无疑难以胜任。其实，对与规模大的图，可以使用min-heap优化，复杂度O((V+E)logV)。思想：维护一个最小堆，用于优化Dijkstrak中从T选取从s到T中路径最短的点，该点即堆顶元素。这个方法即A*搜索。

四、全源最短路径问题