匈牙利算法——最大匹配问题详解

2017年中兴提前批校招，就考了一题匈牙利算法。

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

先了解一些概念性的东西吧。

1.二分图
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。一个二分图的例子：

2.最大匹配&完美匹配
在图论中，一个“匹配”（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
3.交替路&增广路
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。
注意：把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
4.思想与算法
思想：看这么一个例子，把左边1，2，3，4和右边a,b,c,d来进行匹配

一开始我们给1分配a,1和a之间连上红线表示建立匹配。

然后接着给2分配b,2和b连上红线表示匹配。

紧接着给3分配，这时候发现a,b已经都有所属了，我们尝试给1重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。

但是很快我们发现1重新分配不了，b已经有所属，那么继续尝试给2重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。2重新分配到c,用红线表示。

这个时候，1可以重新分配到b,用红线表示。

最后，3就可以分配到a,用红线表示。

对于4，由于c已经被分配，而且尝试给其他1，2，3重新分配无法实现，就此结束。基本原则就是在原有匹配基础上重新分配，看是否可以添加一个新的匹配。

下面，以一个相亲的例子来具体说明一下（这个例子转载于http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547）

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉快哭了），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。