初学博弈论

一、巴什博奕(Bash Game)

基本描述：

只有一堆n个石子，两个人轮流从这堆石子中取石子，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取完的人获胜。

分析：

当n <= m的时候，显然先手获胜，因为一次就能取完。
当n = m+1 的时候，由于先手最多取走m个，无论其取走多少个，剩下的后手均可以一次取完，显然后手胜。
根据以上分析，我们可以将n写成 n = (m+1) * r + s 的形式。对于先手玩家，我们可以取走s个，给对方造成剩下(m+1) 整数倍的情形。此时无论对手取走多少个，假设对手取走k个，我们一定可以做到取走 (m+1-k)个，此时剩下(m+1) * (r-1)个，那么留给对方又是(m+1)的整数倍，如此就可以保证先手取胜。

结论：

当 n <=m 时，先手必胜。
当 n % (m+1) = 0时，后手必胜。
当 n % (m+1) != 0时，先手必胜。

其中上述的情况1和3可以合并，故：

当 n % (m+1) = 0时，后手必胜。
当 n % (m+1) != 0时，先手必胜。

注意：

变形玩法：两个人轮流报数，每次至少1个数，最多报10个数字，谁先报到100取胜。

练习：

HDU 1846
HDU 2149
HDU 2188
HDU 4764

二、PN点分析

什么是PN点

P点，即必败点。前一个选手(Previous player)将取胜的位置称为必败点。
N点，即必胜点。下一个选手(Next player)将取胜的位置称为必胜点。

PN点的属性

所有终结点均为必败点(P点)；
从任何必胜点(N点)操作，至少有一种方法可以进入必败点(P点)；
无论如何操作，必败点(P点)都只能进入必胜点(N点)。

分析步骤

将所有终结位置标记为必败点(P点);
将所有一步能进入必败点(P点)的位置标记为必胜点(N点);
如果从某个点开始的所有一步操作都只能进入必胜点(N点)，则将该位置标记为必败点(P点);
如果在步骤3中未能找到新的必败点(P点)，算法终止，否则返回步骤2.

结论

当行列都是奇数的时候，一定是必败点；
否则为必胜点。

注意

至于结论怎么推出来的，大家画一下3 * 4， 4 * 4， 3 * 3的PN分析图就知道了。

练习

HDU 2147

三、斐波那契博弈

基本描述

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

先手不能再第一次把所有石子取完；
之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间，包括1和对手取的石子数的2倍。
取最后石子的人为赢家。

结论

先说结论：
当且仅当n不是Fibonacci数时，先手必胜。换句话说，先手必败构成Fibonacci数列。

分析

证明需要前置技能，“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理），其表述为：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

具体证明在这篇博文中给出，有兴趣的读者可以自行学习。

练习

HDU 2516

四、威佐夫博弈

基本描述

有两堆各若干个石子，两个人轮流从某一堆或者两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多着不限，最后取完石子的人获胜。

分析

设这两堆石子分别有(A,B)个，并且A<=B。我们先来看一下先手必败的局势。

(0,0) 先手必败，很明显他没得取了。
(1,2) 先手必败。具体分析一下，先手有以下几种取法：
取第一堆的1个，后手取走第二堆的2个获胜。
从第一堆第二堆各取1个，后手取走第二堆剩下的1个获胜。
取第二堆的1个，后手从第一堆第二堆各取1个获胜。
取第二堆的2个，后手取走第一堆的1和获胜。
综上所述，先手必败。
(3,5) 先手必败。首先可以明确的一点是，先手不能把任意一堆取完，如果取完显然必败。
先讨论先手从第一堆中取的情况
先手可以从第一堆中取1个，后手从第二堆中取4个，转化为(1,2),先手必败。
先手可以从第一堆中取2个，后手从第二堆中取3个，转化为(1,2),先手必败。
再讨论先手从第二堆中取的情况
先手可以从第二堆中取1个，后手从两堆中各取2个，转化为(1,2)，先手必败。
先手可以从第二堆中取2个，后手从两堆中各取3个，转化为(0,0)，先手必败。
先手可以从第二堆中取3个，后手从两堆中各取1个，转化为(1,2)，先手必败。
先手可以从第二堆中取4个，后手从第一堆中取2个，转化为(1,2)，先手必败。
接着讨论先手从两堆中取的情况
先手可以从两堆中各取1个，转化为(2,4)，此时情况较多
后手足够聪明，他从第二堆中取了1个，转化为(2,3)，先手也足够聪明，他为了不直接输掉，从第一堆中取了1个(其他取法直接输掉了)，转化为(1,3)，此时后手从第二堆中取1个，转化为(1,2)，先手必败。
先手可以从两堆中各取2个，后手从第二堆中取一个，转化为(1,2)，先手必败。
综上所述，先手必败。
其他的先手必败局势
(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18).
我们将先手必败局势的集合，称为奇异局势。

奇异局势的性质

任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

Betty定理

我们可以发现，将所有奇异局势按照第一堆的石子的数目从小到大排列，每个奇异局势的差值是自然数列。
进一步观察发现，对于一个奇异局势(A,B), A = 下取整[ (B-A) * 1.618 ]，更准确的说，1.618 = (sqrt(5) + 1) / 2.

为什么会是这样的？具体的证明涉及到Betty的定理，有兴趣的读者可以百度，这里不再赘述。

常见的几类问题

给出一个局面，判断先手输赢。
检查是否是奇异局势。
给出局面，判断先手输赢，若赢，求出首步取法。
由于差值是固定的，根据差值计算。

练习

POJ 1067
HDU 1527
51NOD 1072
HDU 2177
NYOJ 161

五、尼姆博弈

基本描述

有三堆石子，每堆有若干个，两个人轮流从某一堆中任取石子，每次至少取一个，多者不限，最后取完者获胜。

分析

用(A,B,C)来表示某一特定局势，同时规定A<=B<=C。奇异局势表示先手必败。

显然(0,0,0)是奇异局势。
(0,n,n)是奇异局势，当先手拿走s个石子时，我们对应拿走s个石子，最终转化为(0,0,0)。
(1,2,3)也是奇异局势，无论先手如何取，我们都可以转化为(0,n,n)的局势。

对于一个奇异局势(A,B,C),我们可以发现，A(XOR)B(XOR)C = 0。
下面一条需要的前置技能
设有数字a,b，a(XOR)b(XOR)(a(XOR)b) = (a(XOR)a)(XOR)(b(XOR)b) = 0
对于一个非奇异局势(A,B,C),我们只需要将C转化为(A(XOR)B)即可，而将C转化为(A(XOR)B)的操作为，C = C-(A(XOR)B)即可。

注：

异或在C语言中的符号为^。
对于此情景来说，可以推广到N堆石子，奇异局势的条件为A1(XOR)A2(XOR)A3(XOR)……AN(XOR) = 0。
A(XOR)B(XOR)B = A，可推广到N个变量，A1(XOR)A2(XOR)A3(XOR)……(XOR)AN(XOR)AN(XOR)AN-1(XOR)……(XOR)A3(XOR)A2 = A1;

练习

HDU 1850

六、SG函数

基本描述

SG函数为计算博弈状态的函数，当SG[X] = 0时，说明先手必败。
为了求解SG函数，首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ，定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。
这样集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

说起来很抽象，举一个具体的例子来说明一下。

实例：取石子游戏

游戏规则：

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG分析

SG[0] = 0(显然没有石子可取时必败)；
f[] = {1,3,4}(表示每次取有3中方案，取1个，取3个，取4个)；

当石子x = 1时，可以取走1-f{1}个石子,SG[1] = mex(SG[1-1]) = mex(0) = 1;
当石子x = 2时，可以取走2-f{1}个石子,SG[2] = mex(SG[2-1]) = mex(1) = 0;
当石子x = 3时，可以取走3-f{1,3}个石子，SG[3] = mex(SG[3-1],SG[3-3]) = mex(0,0) = 1;
当石子x = 4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，SG[4] = mex(SG[4-1],SG[4-3],SG[4-4]) = mex(1,1,0) = 2;

以此类推…

我们可以打出SG函数的表，根据表来判断是先手必胜还是先手必败。