注：下列游戏都建立在双方都有最优策略的情况下，若未加以说明，则每人每次至少取一个石子。

例1：取石子游戏之一

有两个游戏者：A和B。有n颗石子。
约定：两人轮流取走石子，每次可取1、2或3颗。A先取，取走最后一颗石子的人获胜。
问题：A有没有必胜的策略？

分析：这是小学必备奥数题之一，我们可以很容易的知道，当n为0,4,8,12……时，A必定会输，因为不论A取多少，B只要和A共同取走4即可；当n不为0,4,8,12……时，A只需要将n取成4的倍数，这样就变成了B先取，B一定会输，所以A一定会赢。

经过我们的分析发现，对这个游戏而言，0,4,8,12……这些状态是对于先手的必败状态，而其他状态是对于先手的必胜状态，因此，我们现在介绍一下有关博弈的一些名词和概念

1、平等组合游戏

• 两人游戏。
• 两人轮流走步。
• 有一个状态集，而且通常是有限的。
• 有一个终止状态，到达终止状态后游戏结束。
• 游戏可以在有限的步数内结束。
• 规定好了哪些状态转移是合法的。
• 所有规定对于两人是一样的。

因此我们的例1提到的游戏即为一个平等组合游戏，但是我们生活中常见的棋类游戏，如象棋、围棋等，均不属于平等组合游戏，因为双方可以移动的棋子不同，不满足最后一个条件；而我们后续提到的游戏，以及博弈中的其他游戏，基本属于平等组合游戏

2、N状态（必胜状态），P状态（必败状态）

像例1的分析一样，0,4,8,12……等状态就是对于先手的P状态（必败状态），其他的则是对于先手的N状态（必胜状态）。

那么我们定义两个状态之间的转换：

• 所有的终止状态都为P状态
• 对于任意的N状态，存在至少一条路径可以转移到P状态
• 对于任意的P状态，只能转移到N状态

证明过于简单，这里不再赘述，我们只需要明白一点，每个人都会选择最策略即可。

当然这里所说的都是最后走步的人获胜的游戏，至于那些走到最后失败的游戏，我们在最后做了一个简单的讲解（Anti Nim）。

例2：取石子游戏之二

将例1的游戏扩展一下，我们定义一个集合S=p1,p2,...,pk(k∈Z∗)S=p1,p2,...,pk(k∈Z∗)S={p1,p2,...,pk}(k∈Z∗)S={p1,p2,...,pk}(k∈Z∗)S={p1,p2,...,pk}(k∈Z∗) S=\{{p_{1},p_{2},...,p_{k}}\}(k \in Z^*)S=p1,p2,...,pk(k∈Z∗)S=p1,p2,...,pk(k∈Z∗)S={p1​,p2​,...,pk​}(k∈Z∗)a=ak​,b>bk​，那么，取走