最邻近插值、双线性插值、三次卷积插值最通俗入门理论解析，论文材料

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前言

图像处理中有三种常用的插值算法：

最邻近插值
双线性插值
双立方（三次卷积）插值

其中效果最好的是双立方（三次卷积）插值，本文介绍它的原理以及使用

如果想先看效果和源码，可以拉到最底部

本文的契机是某次基于canvas做图像处理时，发现canvas自带的缩放功能不尽人意，于是重温了下几种图像插值算法，并整理出来。

为何要进行双立方插值

对图像进行插值的目的是为了获取缩小或放大后的图片
常用的插值算法中，双立方插值效果最好
本文中介绍双立方插值的一些数学理论以及实现

双立方和三次卷积只是这个插值算法的两种不同叫法而已，可以自行推导，会发现最终可以将求值转化为卷积公式

另外，像Photoshop等图像处理软件中也有这三种算法的实现

数学理论

双立方插值计算涉及到16个像素点，如下图

简单分析如下：

其中P00代表目标插值图中的某像素点(x, y)在原图中最接近的映射点
- 譬如映射到原图中的坐标为(1.1, 1.1)，那么P00就是(1, 1)
而最终插值后的图像中的(x, y)处的值即为以上16个像素点的权重卷积之和

下图进一步分析

如下是对图的一些简单分析

譬如计算插值图中(distI, distJ)处像素的值
首先计算它映射到原图中的坐标(i + v, j + u)
也就是说，卷积计算时，p00点对应(i, j)坐标
最终，插值后的图中(distI, distJ)坐标点对应的值是原图中(i, j)处邻近16个像素点的权重卷积之和
- i, j的范围是[i - 1, i + 2]，[j - 1, j + 2]

卷积公式

设采样公式为S(x)
原图中每一个(i, j)坐标点的值得表达式为f(i, j)
插值后对应坐标的值为F(i + v, j + u)（这个值会作为(distI, distJ)坐标点的值）

那么公式为：

等价于(可自行推导)

提示

一定要区分本文中v, u和row, col的对应关系，v代表行数偏差，u代表列数偏差（如果混淆了，会造成最终的图像偏差很大）

如何理解卷积？

这是大学数学内容，推荐看看这个答案如何通俗易懂的解释卷积-知乎

采样公式

在卷积公式中有一个S(x)，它就是关键的卷积插值公式

不同的公式，插值效果会有所差异（会导致加权值不一样）

本文中采用WIKI-Bicubic interpolation中给出的插值公式：

公式中的特点是：

S(0) = 1
S(n) = 0(当n为整数时)
当x超出范围时，S(x)为0
当a取不同值时可以用来逼近不同的样条函数（常用值-0.5, -0.75）

当a取值为-1

公式如下：

此时，逼近的函数是y = sin(x*PI)/(x*PI)，如图

当a取值为-0.5

公式如下：

此时对应三次Hermite样条

不同a的简单对比

推导

可参考：

图像处理（一）bicubic解释推导
WIKI-Bicubic interpolation

关于网上的一些推导公式奇怪实现

在网上查找了不少相关资料，发现有不少文章中都用到了以下这个奇怪的公式（譬如百度搜索双立方插值）

一般这些文章中都声称这个公式是用来近似y = sin(x*PI)/(x)

但事实上，进过验证，它与y = sin(x*PI)/(x)相差甚远（如上图中是将sin函数缩放到合理系数后比对）

由于类似的文章较多，年代都比较久远，无从得知最初的来源

可能是某文中漏掉了分母的PI，亦或是这个公式只是某文自己实现的一个采样公式，与sin无关，然后被误传了。

这里都无从考据，仅此记录，避免疑惑。

另一种基于系数的实现

可以参考：图像处理（一）bicubic解释推导

像这类的实现就是直接计算最原始的系数，然后通过16个像素点计算不同系数值，最终计算出目标像素

本质是一样的，只不过是没有基于最终的卷积方程计算而已（也就是说在原始理论阶段没有推成插值公式，而是直接解出系数并计算）。

代码实现在github项目中可看到，参考最后的开源项目

代码实现

以下是JavaScript代码实现的插值核心方程

/*** 采样公式的常数A取值,调整锐化与模糊* -0.5 三次Hermite样条* -0.75 常用值之一* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)* -2 常用值之一*/
const A = -0.5;function interpolationCalculate(x) {const absX = x > 0 ? x : -x;const x2 = x * x;const x3 = absX * x2;if (absX <= 1) {return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;} else if (absX <= 2) {return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;}return 0;
}

以上是卷积方程的核心实现。下面则是一套完整的实现

/*** 采样公式的常数A取值,调整锐化与模糊* -0.5 三次Hermite样条* -0.75 常用值之一* -1 逼近y = sin(x*PI)/(x*PI)* -2 常用值之一*/
const A = -1;function interpolationCalculate(x) {const absX = x >= 0 ? x : -x;const x2 = x * x;const x3 = absX * x2;if (absX <= 1) {return 1 - (A + 3) * x2 + (A + 2) * x3;} else if (absX <= 2) {return -4 * A + 8 * A * absX - 5 * A * x2 + A * x3;}return 0;
}function getPixelValue(pixelValue) {let newPixelValue = pixelValue;newPixelValue = Math.min(255, newPixelValue);newPixelValue = Math.max(0, newPixelValue);return newPixelValue;
}/*** 获取某行某列的像素对于的rgba值* @param {Object} data 图像数据* @param {Number} srcWidth 宽度* @param {Number} srcHeight 高度* @param {Number} row 目标像素的行* @param {Number} col 目标像素的列*/
function getRGBAValue(data, srcWidth, srcHeight, row, col) {let newRow = row;let newCol = col;if (newRow >= srcHeight) {newRow = srcHeight - 1;} else if (newRow < 0) {newRow = 0;}if (newCol >= srcWidth) {newCol = srcWidth - 1;} else if (newCol < 0) {newCol = 0;}let newIndex = (newRow * srcWidth) + newCol;newIndex *= 4;return [data[newIndex + 0],data[newIndex + 1],data[newIndex + 2],data[newIndex + 3],];
}function scale(data, width, height, newData, newWidth, newHeight) {const dstData = newData;// 计算压缩后的缩放比const scaleW = newWidth / width;const scaleH = newHeight / height;const filter = (dstCol, dstRow) => {// 源图像中的坐标（可能是一个浮点）const srcCol = Math.min(width - 1, dstCol / scaleW);const srcRow = Math.min(height - 1, dstRow / scaleH);const intCol = Math.floor(srcCol);const intRow = Math.floor(srcRow);// 计算u和vconst u = srcCol - intCol;const v = srcRow - intRow;// 真实的index，因为数组是一维的let dstI = (dstRow * newWidth) + dstCol;dstI *= 4;// 存储灰度值的权重卷积和const rgbaData = [0, 0, 0, 0];// 根据数学推导，16个点的f1*f2加起来是趋近于1的（可能会有浮点误差）// 因此就不再单独先加权值，再除了// 16个邻近点for (let m = -1; m <= 2; m += 1) {for (let n = -1; n <= 2; n += 1) {const rgba = getRGBAValue(data,width,height,intRow + m,intCol + n,);// 一定要正确区分 m,n和u,v对应的关系，否则会造成图像严重偏差（譬如出现噪点等）// F(row + m, col + n)S(m - v)S(n - u)const f1 = interpolationCalculate(m - v);const f2 = interpolationCalculate(n - u);const weight = f1 * f2;rgbaData[0] += rgba[0] * weight;rgbaData[1] += rgba[1] * weight;rgbaData[2] += rgba[2] * weight;rgbaData[3] += rgba[3] * weight;}}dstData[dstI + 0] = getPixelValue(rgbaData[0]);dstData[dstI + 1] = getPixelValue(rgbaData[1]);dstData[dstI + 2] = getPixelValue(rgbaData[2]);dstData[dstI + 3] = getPixelValue(rgbaData[3]);};// 区块for (let col = 0; col < newWidth; col += 1) {for (let row = 0; row < newHeight; row += 1) {filter(col, row);}}
}export default function bicubicInterpolation(imgData, newImgData) {scale(imgData.data,imgData.width,imgData.height,newImgData.data,newImgData.width,newImgData.height);return newImgData;
}