【Matlab】根据图生成带权邻接矩阵，并求出最短路径

图的简介

图是拓扑学中的一个重要概念，分为无向图和有向图两种。图有两个重要属性，即点（Node）和边（Edge）。在图的概念中，我们只关心点和边的连接关系而并不关系他们在图中的相对位置。
由点和边连接的图中，将边赋予一定的权重，就可以将图转换为各种问题，例如TSP（旅行商）问题、（Shortest Path）最短路径问题。本文先介绍如何借助图以及赋予的边的权值生成带权邻接矩阵，再介绍利用图求两点之间最短路径的求法。

无向图（Graph）

生成带权邻接矩阵

先介绍根据以下无向图生成带权邻接矩阵的方法：

假设我们已经知道了每条边的权重（红色标定），该图中有11个点，如果挨个写出需要121个元素，对于此图已经非常繁琐。因此我给大家提供一种简单的方法，只需要写出图中标定权值的边即可达到目的。书写规则如下：
A→A：标定权值是0
若A→B没有路径可以到达，标定权值为0
若A→C有路径可以到达，根据建模需要标定权值
这样，我们在手动书写时，仅需要写出非0边的权重即可，每条边只需要书写一次，书写方式如下：

W=zeros(11);
W(1,2)=2;
W(1,4)=1;
W(1,3)=8;
W(2,3)=6;
W(2,5)=1;
W(3,4)=7;
W(3,5)=5;
W(3,6)=1;
W(3,7)=2;
W(4,7)=9;
W(5,6)=3;
W(5,8)=2;
W(5,9)=9;
W(6,7)=4;
W(6,9)=6;
W(7,9)=3;
W(7,10)=1;
W(8,9)=7;
W(8,11)=8;
W(9,10)=1;
W(9,11)=2;
W(10,11)=4;

由于本例中为无向图，因此生成的矩阵总满足W(i,j)=W(j,i)，所以利用以下代码书写另一半：

n=size(W,1);
for i=1:nfor j=i:nW(j,i)=W(i,j);%次对角线分隔的下三角部分根据上三角部分对称end
end
G=graph(W,'upper');%根据带权邻接矩阵生成无向图
plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight)
title('标定权重的无向图')

自动绘图效果如下：
标定权重的无向图
带权邻接矩阵W如下：

（如果要将平时我们认为的不能到达的路径之间权重设定为Inf也很容易，不过在Matlab内置的函数shortestpath中，认为权重0即不设路径）

求两点最短路径

格式：[path,distance]=shortestpath(G,1,6)
path返回的是路径经过的点，distance是该路径的长度

例如在工作区输入：

>>[path,distance]=shortestpath(G,1,6)

显示如下：
在这里插入图片描述
对照我们绘制的无向图也很容易手动验证，最短路径即1→2→5→6，最短路径的距离=2+1+3=6。

有向图（Digraph）

生成带权邻接矩阵

有向图示例如下：

创建一个数组，每一列依次保存起始点，出发点，以及带权。按照和无向图同样的方法对每条边书写带权：

W=[1 2 10;1 4 10;1 8 1;2 3 10;2 7 1;3 4 10;3 6 1;4 5 1;5 6 12;5 8 12;6 7 12;7 8 12;];

用类似的方法生成有向图如下：

startpoints=W(:,1);%起始点集合
endpoints=W(:,2);%结束点集合
weights=W(:,3);%对应起始点和结束点的边权重
G=digraph(startpoints,endpoints,weights);%生成有向图
plot(G,'EdgeLabel',weights,'layout','force','Edgecolor','red')%画出有向图