5.4 复倒谱和倒谱 定义 设信号x(n)的z变换为X(z) = z[x(n)]，其对数为： (1) 那么 的逆z变换可写成： (2) 取 (1)式则有 (3) 于是式子(2)则可以写成 (4) 则式子(4)即为信号x(n)的复倒谱 的定义。因为 一般为复数，故称 为复倒谱。如果对 的绝对取对数，得 (5)
5.4 复倒谱和倒谱
定义
设信号x(n)的z变换为X(z) = z[x(n)]，其对数为：
(1)
那么
的逆z变换可写成：
(2)
取
(1)式则有
(3)
于是式子(2)则可以写成
(4)
则式子(4)即为信号x(n)的复倒谱
的定义。因为
一般为复数，故称
为复倒谱。如果对
的绝对值取对数，得
(5)
则
为实数，由此求出的倒频谱c(n)为实倒谱，简称为倒谱，即
(6)
在(3)式中，实部是可以取唯一值的，但对于虚部，会引起唯一性问题，因此要求相角为w的连续奇函数。
性质：
为判断复倒谱的性质，研究有理z变换的一般形式即可。z变换的一般形式为
其中，
的绝对值皆小于1，A是一个非负数系数。因此，
和
项对应于单位圆内的零点和极点，
和
项对应于单位圆外的零点和极点，Mi和M0分别表示单位圆内和外的零点数目，Ni和N0分别表示单位圆内和外的极点数目，因子
简单地表示时间原点的移动。于是，X(z)的复对数为：
在讨论复倒谱的性质时可以写为以下形式：
性质1：即使x(n)可以满足因果性、稳定性、甚至持续期有限的条件，一般而言复倒谱也是非零的，而且在正负n两个方向上都是无限延展的。
性质2：复倒谱是一个有界衰减序列，其界限为：
其中，a是
的最大绝对值，而
是一个常数。
性质3：如果X(z)在单位圆外无极点和零点(即
)，则有
这种信号称为“最小相位”信号。
性质4：对于X(z)在单位圆内没有极点或零点的情形，可以得到“最大相位”信号，有
性质5：如果输入信号为一串冲激信号，它具有如下形式：
这就意味着其也是一个间隔为Np的冲激串。
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