上面这个现象呢，是男生上厕所时的一种微妙状态。两个男生往往会由于尴尬而不愿意站在相邻的坑位上厕所。我将其命名为男厕所的泡利不相容定律。

一、男厕尴尬定律简介

先给大家科普一下男厕所的构造，小便区是一排立式坑位。好的厕所有隔板，阻挡隔壁视线，营造私密空间，但更多的情况是这样的。

所以男生通常会离其他人尽可能远。

这也合理，社会学研究表明，人的社交距离分四级：亲密、熟人、礼貌、一般。亲密距离是0-45cm，情侣之间才会离这么近。

两个男生萍水相逢，却在亲密距离内做亲密之事，难免有些哈兹卡西。

如果不说点什么，尿声无法掩盖；如果旁边人盯着你，你会很不自在；如果互相攀比尿液动力学，又有一点变态。有同感的话请在评论里打尴尬。

但这时你会发现一个问题！男生的尴尬心态导致了男厕所坑位利用率显著降低！

考察一个4坑位厕所，第1个人进来占据1号坑，第2个人占据最远的4号坑，第3个人进来就无坑可占了，因为两边都有人。

考察7坑位厕所，第1个人进来占据1号坑，第2个人占据7号坑，第3个人占据4号坑，第4个人进来又没法上了！7个坑位只能容纳3个人！

同理易得，13个坑位的厕所其实只能容纳5个人！男生的一点面子竟然造成了社会资源极大的浪费！

顺带一说，后来在SCP基金会官网上我竟然看到了类似的记录，据说是一种超自然现象，目前仍无法进行完全收容。

因此不一定是广大男同胞面子薄，可能是你受到了超自然的影响。

想到这里我不禁陷入沉思。一个厕所的坑位数量和它能容纳的男生人数满足什么关系呢？最优秀的厕所应该设置多少个坑位，才能避免客人尴尬呢？

作为SNP大一统理论创始人，今天我就来和大家计算一下，男厕尴尬定理。

二、简单计算

基本模型如下：

试求该厕所可同时容纳的男生数量m与n的关系，记为m=f(n)。下面我们来给出一些合理的假设。

男厕第一定律，又称就近定律：第1个男生为了图方便，总是进入1号坑位。

男厕第二定律，又称尴尬定律：与女生不同，男生从不结伴，总是独立进入厕所，后来的男生总会选择离左右男生尽可能远的坑位。

男厕第三定律，又称泡利不相容定律：男生永远不挨着上厕所。

下面计算f(n)。做对的同学请在评论里打简单。我来提供一个求解思路。

如果n是奇数，第1个人进入1号坑，第2个人进入n号坑，第3个人进入正中间的(n+1)/2号坑。这时左边这(n+1)/2个坑能容纳多少人呢？

不知道，但总之就是f((n+1)/2)个人。右边这(n+1)/2个坑能容纳多少人呢？也是f((n+1)/2)个人。现在我们虽然求不出f(n)，但我们知道了，

减1是因为要扣掉中间这个重复的人

如果n是偶数，则第1个人进入1号坑，第2个人进入n号坑，第3个人进入正中间的n/2号坑。这时左边这n/2个坑能容纳多少人呢？

不知道，但总之是f(n/2)个人。右边这(n/2+1)个坑能容纳多少人呢？f(n/2+1)个人。所以这时

到此为止，我们虽然不会正面求f(n)，但我们得到了这样上面这组公式。

然后简单编个程就可以计算了，画出男厕所坑位函数图像长这样。

结果非常amazing啊！随着厕所坑位数量增长，能同时容纳的男生数量阶梯式上升，坑位利用率振荡式下降，最后在1/2和1/3上下反复横跳。

厕所坑位函数有一个独特的性质：当坑位从2^k+1增加到1.5*2^k+1时，能容纳的男生数量是不变的！都等于2^(k-1)+1。

比如9、10、11、12、13个坑位的厕所，都只能容纳5个人。

这告诉我们，不要盲目修太多坑位，有时候你修了也白修，男生根本就不进去。

稍加计算就会发现，一个拥有1亿个坑位的宇宙级宏伟厕所至多同时容纳33554433个男生，剩下66445567个坑位都会因为尴尬而被浪费掉！浪费率高达66%！

从利用率曲线来看，对于日常的厕所而言，修3、5、9、17个坑位会比较科学，利用率是最高的。修4、 7、13个坑位是最坑的。

如果我的观众里有厕所设计师的话，希望这个结论能引起你的重视。

三、进阶：男厕里的伟大思想

刚才我们解决的虽然只是厕所里一个微不足道的问题，但你仔细思考就会发现这个男厕所中，竟然蕴含着一种伟大的思想！

要求n个坑位能容纳多少人，如果你排列组合分类讨论，是很头疼的。

但我们把这个问题转化为了n/2个坑位的厕所能容纳多少人的问题，然后又能转化为n/4的问题，一直分下去，最后一定能转化为3个坑位以内的简单问题。这个一眼就能看出答案了。再一通合并，就能推出n个坑位的情况。

这种做法，就是我们小学二年级就学过的分而治之算法。

它的字面意思很朴素，但揭示了一种哲学思想：

把一个复杂的大问题分解为几个相似的小问题，不断分解，直到它变成一个个足够小的容易解决的问题，就能治住它们，再合并解决开始的复杂问题。本质上就是个套娃思想。

举个通俗的例子，大老板要写论文，把论文前一半给1号小老板写，后一半给2号小老板写，自己合并润色。

每个小老板又把他的部分交给两个博士生写，自己合并。分而治之，十分合理。结果有个博士生PS了数据，小老板没发现，就把大老板坑了。

分而治之在数学和算法中有广泛的应用，典型的像排序。我们大家学的第一个排序算法都是冒泡排序。依次比较相邻元素，如果顺序不对就交换。这种算法非常慢，时间复杂度是O(n2)。

但用分而治之就可以提出什么排序啊？哎对！归并排序和快速排序。

比如你家套娃洒了一地，我们用快速排序。首先任选一个娃，将其他娃与之比较，比它大的扔它右边，比它小的扔左边。

现在这个娃已经找到了它最终的位置，整堆套娃被分成了左右两个部分。在这两部分中分别再取一个娃，比它大的放右边，小的放左边。

不断套娃式重复，套娃的排序就快速完成了。快排和归并的时间复杂度都是O(nlogn)。所以要想治住套娃，还是得用套娃。

这个视频就直观地演示了三种排序算法的原理和效率。

为什么分而治之会比直接刚之更加优秀呢？

这是因为，大规模问题的复杂度往往要远远高于小规模问题。

因此把大问题拆成容易的小问题，再递归地解决它们是划算的。分治在大整数乘法、矩阵乘法、求特征值、快速傅里叶变换当中都有应用。

比如两个8位数相乘，直接乘就要做64次个位数乘法。但我们可以分而治之，用小学二年级就学过的Karatsuba算法，把8位数分成高位和低位两部分，一通变换猛如虎，就只要做6次加法和3次4位数乘法，相当于只有48次个位数乘法。

对电脑而言，加法比乘法好算，对人好像也是吼……把4位数乘法再次分治，乘法次数大大减少，计算效率显著提升。

理论上讲，2个1024位整数相乘，本来要做105万次乘法，但分而治之后就只要6万次，按现在的神童标准，口算都能算出来了。

这就是分而治之算法的威力。如今计算机的突飞猛进，既来自算力的提升，也来自算法的进步。一个巧妙的变换，就能让解决问题的时间缩短百倍，这便是算法之美，是人类强于计算机的智慧啊！

分而治之，不光是一个算法思维，还是一种交朋友的方式。今后当你在男厕所里提着裤子等位的时候，不妨试探地抛一句

如果前面的人惊喜地回你一句

那这期视频就让你们突然有话题了！你们可以聊一聊这家厕所的坑位利用率是多少，玩一个套娃排序，算一个大整数乘法。

分而治之让厕所里原本无言的尴尬化为亲密的会心一笑！正道之光从此照在厕所之上。

感谢大家管看本期文章，希望给我点赞、在看，支持一下！我们下期再见！

参考文献

1、Jon Kleinberg, Éva Tardos. Algorithm Design[J]. Prentice Hall, 2005.

2、Cormen T H , Leiserson C E , Rivest R L , et al. Introduction to algorithms, third edition Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein[J]. Journal of the Operational Research Society, 2001, 42(9).

3、Cuppen J J. A divide and conquer method for the symmetric tridiagonal eigenproblem[J]. Numerische Mathematik, 1980, 36(2): 177-195.

4、 Karatsuba, Anatolii A.; Yuri P. Ofman (1962). "Умножение многозначных чисел на автоматах". Doklady Akademii Nauk SSSR. 146: 293–294.

5、Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969

6、Huang, Jianyu; Smith, Tyler; Henry, Greg; van de Geijn, Robert (2016). Strassen's Algorithm Reloaded. International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis (SC'16)

7、Richard Tolimieri, Chao Lu, Myoung An. Cooley-Tukey FFT Algorithms[J]. 1997