一、堆树的定义
堆树的定义如下:
(1)堆树是一颗完全二叉树;
(2)堆树中某个节点的值总是不大于或不小于其孩子节点的值;
(3)堆树中每个节点的子树都是堆树。
当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。如下图所示,左边为最大堆,右边为最小堆。
二、堆树的操作
以最大堆为例进行讲解,最小堆同理。
原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7},采用顺序存储方式,对应的完全二叉树如下图所示:
(1)构造最大堆
在构造堆的基本思想就是:首先将每个叶子节点视为一个堆,再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。
所以,在构造堆的时候,首先需要找到最后一个节点的父节点,从这个节点开始构造最大堆;直到该节点前面所有分支节点都处理完毕,这样最大堆就构造完毕了。
假设树的节点个数为n,以1为下标开始编号,直到n结束。对于节点i,其父节点为i/2;左孩子节点为i*2,右孩子节点为i*2+1。最后一个节点的下标为n,其父节点的下标为n/2。
如下图所示,最后一个节点为7,其父节点为16,从16这个节点开始构造最大堆;构造完毕之后,转移到下一个父节点2,直到所有父节点都构造完毕。
C++代码实现:
定义存放堆的结构如下:
strcut MaxHeap
{
Etype *heap;
int HeapSize;
int MaxSize;
};
MaxHeap H;
其中,heap是数据元素存放的空间,下标从1开始存数数据,下标为0的作为工作空间,存储临时数据。HeapSize是数据元素的个数,MaxSize是存放数据元素空间的大小。
初始化堆方法如下:
void MaxHeapInit (MaxHeap &H)
{
for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--)
{
H.heap[0] = H.heap[i];
int son = i*2;
while(son <= H.HeapSize)
{
if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1])
son++;
if(H.heap[0] >= H.heap[son])
break;
else
{
H.heap[son/2] = H.heap[son];
son *= 2;
}
}
H.heap[son/2] = H.heap[0];
}
}
(2)最大堆中插入节点
最大堆的插入节点的思想就是先在堆的最后添加一个节点,然后沿着堆树上升。跟最大堆的初始化过程大致相同。
C++代码实现:
void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x)
{
if(H.HeapSize == H.MaxSize)
return false;
int i = ++H.HeapSize;
while(i!=1 && x>H.heap[i/2])
{
H.heap[i] = H.heap[i/2];
i = i/2;
}
H.heap[i] = x;
return true;
}
(3)最大堆中堆顶节点的删除
最大堆堆顶节点删除思想如下:将堆树的最后的节点提到根结点,然后删除最大值,然后再把新的根节点放到合适的位置。
C++代码实现:
void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x)
{
if(H.HeapSize == 0)
return false;
x = H.heap[1];
H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--];
int i = 1, son = i*2;
while(son <= H.HeapSize)
{
if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1])
son++;
if(H.heap[0] >= H.heap[son])
break;
H.heap[i] = H.heap[son];
i = son;
son = son*2;
}
H.heap[i] = H.heap[0];
return true;
}
三、堆树的应用
利用最大堆、最小堆进行排序。
堆排序算法详解:http://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904231
参考文献:
1、彻底弄懂最大堆的四种操作(图解+程序)(JAVA) http://128kj.iteye.com/blog/1728555
2、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031