事先说明：笔者初三，如在叙述中有不严谨的地方，还请诸位指出，自当感激不尽。
（本文默认受众对象为初高中生，因此抛物线一律采取了y=ax²的形式，高中的同学们可以应用旋转矩阵把它变到y²=2px的形式QAQ笔者懒就不写咯~）
为了更方便地写本文，笔者定义一种运算叫实导，就是取幂函数上两点表示其斜率的运算，下文均记作Fs（ab）或（某代数式）s（a，b指点,方便起见，后文xa，xb，xc对应x1，x2，x3，当运算指对任意两点求实导时，直接记作Fs）强烈建议初中生阅读前看看导数！！！
一.新定义的灵感
当时还是在准备三位一体考试，然后为了解极值学习了导数的内容，刚开始百思不得其解，后来从几何意义出发，了解到导数是一个函数上两点斜率的极端情况，当两点无限接近时，所得的切线斜率就是函数该点的导数值。在推理了幂函数形式的导数公式后，恰巧在做钱塘甬真重高的抛物线题目，计算量令人头大，于是我突发奇想，想要找一种方式简化运算，刚好想到当两点不是无限迫近时，两点斜率是否可以表示，恰好与抛物线阴差阳错地契合，就发明了这个运算，取可见两点斜率之意，改导数为实导了。（事实上，根据点差法，可以给出所有幂函数(次数为整数）类型的实导运算及其运算公式，下文将会提到。）
实导运算性质（推导你们自己弄吧hiahiahia奸笑jpg）
1.对于幂函数f(x)=x^n,Fs=x1^n-1 +x1^n-2·x2+x1^n-3·x2²……+x2^n-1,(n∈正整数）
若F（x）=x^-n,Fs=-(x^n)s/(x1x2)^n,(n∈正整数）
规定当n=0时，Fs=0
2.若F（x）=h（x）＋g（x），则（F（x））s=（h（x））s＋（g（x））s
3.若F（x）=h（x）·g（x），则（F（x））s=（h（x））s·（g（x1）+g（x2））/2＋（g（x））s·（h（x1）+h（x2））/2
4.后文将Fs²＋1记为M
5.链式求导法则，隐函数求导法则对于求实导依然有效
二.正文部分一：实导对于抛物线
设f（x）=ax²＋bx+c，根据上面运算可知Fs=a（x1+x2）+b（由此可知，当xa+xb=xc+xd时，ab∥cd）
特殊时：1.x1=0，Fs=ax2+b
2.a点为顶点M，则Fs（aM）=a△x（△x=x1-xM）（一般化：Fs=a（△x1＋△x2））
3.很容易得知Fs（ab）=F（a+b/2）’（有兴趣的可以去查一下数学史中阿基米德求弓形面积，这可能是最早的微分思想了）
4.设割线l：y=【a（x1+x2）+b】x＋z，将（x1，ax1²＋bx1+c）代入，可以解得直线方程：y=Fsx+c-ax1x2，即为抛物线割线公式。
5.同理可以给出抛物线切线公式：y=f（x）’x+c-ax0²=（2ax0+b）x+c-ax0²
6.任意两点距离公式：√M·|x1-x2|
三.征途开始：利用上述公式推出更美丽的公式。
α：抛物线内接三角形（△abc）面积公式：S=|a（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）|/2
证明：我们先画一个三角形：
采取中学惯用的方法：水平宽乘铅垂高，做出h和l，很明显：
l＝（x3-x1）
h=(Fs（AC）-Fs(AB))·（x2-x1）=【a（x1+x3）+b-a（x1＋x2）-b】·（x2-x1）
=a（x3-x2）·（x2-x1）
∴S=1/2l·h=|a（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）|（这里我们不知道ABC具体位置，所以加上了绝对值）
是不是充满了对称的美学！！！简单而漂亮！！！
说到这不得不提到一类初中极多的水平宽乘铅垂高问题，大致就是确定了A和B的位置，然后在其间有动点C，求S△ABCmax，利用上式，我们可以轻松得到当x3=x1+x2/2时，Smax=1/8|a（x1-x2）³|，一直坚信代数据死算的同学们有没有觉得感情被欺骗了（实际上从几何意义上考虑，当x3=x1+x2/2时，C点切线恰好与AB平行，此时显然三角形高最大）
同样的，对于反比例函数同样有一般美丽的公式，我就提一下：S=|k（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）/2x1x2x3|
当这类模型转向四边形时，同样会成立。
β：斜率专题：过定点和旋转。
p1：旋转的割线（初中常有）
顺时针：△Fs=（Fs（AB）-tanθ）/（1+Fs（AB）tanθ）-Fs（AB）
=-tanθ（Fs（AB）²+1）/（1＋Fs（AB）tanθ）
=M/（-Fs（AB）-cotθ）
逆时针：同理可得△Fs=M/（-Fs（AB）+cotθ）
总结一下，△x＝M/a（-Fs（AB）±cotθ），顺时针取负号，逆时针取正号（和三角函数一样）
p2：斜率之积决定过定点问题。
证明：Fs（AP）·Fs（BP）=a²（x1+x0）（x2＋x0）=λ①，lAB：y=a（x1＋x2）x-ax1x2=kx+b②
①展开并整理，有a²【x0²＋（x1+x2）x0+x1x2】=a²（x0²+kx0/a-b/a）=a²x0²+akx0-ab=λ，于是有k=b/x0+λ/ax0-ax0，代入②得y=（b/x0+λ/ax0-ax0）x+b=（x/x0+1）b+λx/ax0-ax0x，很明显，当x=-x0时，就会有y=ax0²-λ/a（定值），在图形上看，就是取P点关于对称轴的对称点，并将纵坐标-λ/a，即得定点P”
要注意的是，该结论逆定理仍然成立，并且其特殊情况（λ=-1）经常会在三一考试中出现，该结论是该类型题目的推广（吧）
p3：如图：
不妨将曲线标准化，取y=ax²，N（0，n）其它情况都可通过平移得到（下文模型默认标准化）
则有lAB：y=a（x1+x2）x-ax1x2=kx+n，故M（x1+x2/2，a（x1²＋x2²）/2）
则xm=k/2a，ym=a/2 ·【（x1＋x2）²-2x1x2】=n+k²/2a
即M（k/2a，n+k²/2a）
γ：七仙女模型（瞎取的名字）
在介绍这些模型之前，首先介绍一个结论：
证明：标准化后，yc’=-ax1x3，yb’=-ax1x2，于是向量PC'=yc'，向量PB'=yb',两者相比即向量PC’/向量PB’=x3/x2，再转化到一般情况，则变成向量PC’/向量PB’=△x2/△x1
我称之为半割模型。
a.
简述：在抛物线对称轴上取一点M（0，m），并取直线l：y=-m（接下来6个模型都是如此）
过M的动弦AB交抛物线于A、B，过A（B）作垂线AA'（BB'）⊥l，则有A'PB（B'PA）三点共线。
证明：过B作直线l’∥l，交抛物线于C，由半割，知
y2/m=-x2/x1，变形后，有y2/x2=m/-x1，即kA'P=kBP，于是A'PB（B'PA）三点共线。证明相当简洁。
b.
证明：过B作直线l’∥l，交抛物线于C，由半割，知
y2/m=-x2/x1。又kBM’=y2+m/x2，kAM'=y1+m/x1，且-ax1x2=m，
∴x1=-x2m/y2，y1y2=m²，即y1=m²/y2，代入前式化简后即可得到kBM'=-kAM'，得证
c.
证明：直接联立切线方程：
la：y=2ax1x-ax1²，lb：y=2ax2x-ax2²，联立后得到点M’（x1+x2/2，ax1x2），又因为ym=-ax1x2，所以得证。
对此不得不加以补充：若过M’作直线l’平行于y轴，交抛物线于C，交AB于D，经过计算可以发现C是M’D的中点，而且S△ABC恰好=1/8|a（x1-x2）³|，于是我们就得到S△ABM=1/4|a（x1-x2）³|，十分神奇
d.
设P（0，m）=（0，-ax1x2）不妨就设圆与抛物线对称轴交于Q，则∠A'QB'=90°，令对称轴与l交于P'，则由射影定理，有QP'²=A'P'·P'B'，∴（yQ+m）²=-x1x2=m/a
最终可解得yQ=√m/a -m，特殊地，当P为焦点时，Q与P重合。
e,f.
证明：直接设点（我省略了）
kAP'=2ax1x2/x1=2ax2,kQB'=(ax1x2-ax2²)/(x1-x2)/2=2ax2(x1-x2)/x1-x2=2ax2
kAQ'=-a(x1-x2)²/2/x1-x2/2=-a(x1-x2),kP'B=ax2(x1-x2)/-x2=-a(x1-x2)
∴kAP’=kQB',kAQ'=kP'B,即得证。
g.
证明：A（x1，ax1²）B（x2，ax2²）E（x0，ax0²）
于是lBE：y=a（x0+x2）x-ax0x2,lAE:y=a(x0+x1)-ax0x1
代入y=-m，分别解得P(x2(x0+x1)/(x0+x2),-m),Q(x1(x0+x2)/(x0+x1),-m)
∴kPM=-2m(x0+x2)/x2(x0+x1),kQM=-2m(x0+x1)/x1(x0+x2)
∴kPM·kQM=4m²/x1x2=4m²/-a/m=-4am
特殊地，当M为焦点，PM⊥MQ
四.小试牛刀（例题解析）
1.来自钱塘甬真重高某卷
解：不妨将未知点看成已知定点，那么M，M1，M2就是与之关联的动点。
设lMM1：y=k(x+1)+1=½（xm+xm1）x-½xmxm1=½（xm+xm1）(x+1)+1，于是 -½xmxm1=½xm+½xm1+1，化简得xmxm1=-（xm+xm1+2）①
kBM=½xm²+1/xm=½xm+1/xm=Fs（MM2）=½xm+½xm2，∴xm2=2/xm②
所以ym1m2=½（xm1+xm2）x-½xm1xm2，将②代入有：
ym1m2=½（xm1xm+2）/xm·x-xm1/xm，将①代入有：-½x-（xm1+½xm1·x）/xm
∴当x=-2时，y=1，即过定点Q（-2,1）
标答的话就是硬算，我没什么好说的，我按照标答做的时候算错了两遍。。。
2.2018浙江嵊州高三期末质检21
已知抛物线y=x²，A（-1,1），B（4，-2）抛物线上一点P(x，y）（x＜-1），AP与y轴交于Q，记△PAB，△QAB面积分别为S1，S2。
（1）若AP⊥PB，求x
（2）求（S1-5S2）min
（1）解：由题知Fs（AP）·Fs（BP）=（x-1）·（x+2）=x²+x-2=-1
解得x=-1+√5/2（舍）x=-1-√5/2
（2）解：S1=（-1-x）（2-x）（2+1）/2=3（x²-x-2）/2
yQ=-（-1·x）=x，∴S2=h·l/2=3（2-x）/2
∴（S1-5S2）=3（x²-x-2）/2-15（2-x）/2=3x²+12x-36/2=3(x+2)²-48/2
则当x=-2时，原式min=-24
（3）2019浙江台州一中、天台一中高三上期中21
已知直线PA，PB与抛物线y=¼x²分别相切于A，B
（1）若P在直线y=-1上，求证：直线AB过定点
（2）若点P是半椭圆¼x²＋⅓y²=1（y＜0）上的动点，求S△PAB的取值范围
（1）证明：由上结论易知AB过定点（0,1）
（2）令xa=x1＞xb=x2，∴S△PAB=（x1-x2）³/16，且x1＋x2=2xp，¼x1x2=yp
∴（x1+x2）²-4x1x2=4xp²-16yp=（x1-x2）²
∴S△PAB=√xp²-4yp ³/2，又∵3x²+4y²=12，∴xp²=4 -4yp²/3，代入得：
S△PAB=√-4yp²/3-4yp+4³/2，∴当y=-3/2时，S△PABmax=7√7/2
当y=0时，S△PAB=4，又因为取不到0，所以4＜S△PAB≤7√7/2
类似的例题还有很多，我不列举了
求赞~
