拓扑排序C++

解题思路

本题可约化为： 课程安排图是否是有向无环图(DAG)。即课程间规定了前置条件，但不能构成任何环路，否则课程前置条件将不成立。
思路是通过 拓扑排序 判断此课程安排图是否是有向无环图(DAG) 。

拓扑排序原理： 对 DAG 的顶点进行排序，使得对每一条有向边 $(u,v)$，均有 $u$（在排序记录中）比 $v$ 先出现。亦可理解为对某点 $v$ 而言，只有当 $v$ 的所有源点均出现了，$v$ 才能出现。

通过课程前置条件列表 prerequisites 可以得到课程安排图的邻接表 adjacency，以降低算法时间复杂度，以下两种方法都会用到邻接表。

方法一：入度表（BFS）

本方法中几个数据结构的含义：

• vector<vector<int>> prerequisites 题目给出参数，其中每个元素 p 是一个依赖关系 p[0] 依赖于 p[1] ，在有向图中，应该是 p[1]->p[0] 。

• vector<int> degress 记录所有节点的入度

• vector<vector<int>> adjacents 邻接表，长度为总课程数，下标 $i$ 的元素存放所有依赖节点 $i$ 的节点

• queue<int> zeros 存放所有目前入度为 0 的顶点

算法流程：

1. 统计课程安排图中每个节点的入度，生成 入度表 indegrees。
2. 借助一个队列 queue，将所有入度为 0 （没有任何依赖）的节点入队。
3. 当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：
   • 并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点邻接表对应所有邻接节点 cur，即所有以来该节点的节点的入度 −1，即 indegrees[cur] -= 1。
   • 当入度 −1 后邻接节点 cur 的入度为 0，说明 cur 所有的前驱节点（依赖节点）已经被 “删除”，此时将 cur 入队。
4. 在每次 pre 出队时，执行 numCourses--；
   • 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为 0。
   • 因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {vector<int> degrees(numCourses, 0);		// 记录所有顶点的入度,未初始化的为0vector<vector<int>> adjacents(numCourses);	// 邻接表queue<int> zero;	// 零入度的顶点int num = numCourses;for (int i=0; i<prerequisites.size(); ++i) {degrees[prerequisites[i][0]]++;		// 入顶点adjacents[prerequisites[i][1]].push_back(prerequisites[i][0]);		// 出顶点}for (int i=0; i<numCourses; ++i) {if (degrees[i] == 0) {zero.push(i);		// 入度为0的先入队列--num;}}while (!zero.empty()) {int temp = zero.front();zero.pop();for (int j=0; j<adjacents[temp].size(); ++j) {if (--degrees[adjacents[temp][j]] == 0) {zero.push(adjacents[temp][j]);--num;}}}if (num == 0) return true;else return false;}
};

方法二：DFS

原理是通过 DFS 判断图中是否有环。

算法流程：

1. 借助一个标志列表 flag，用于判断每个节点 i （课程）的状态：
   1. 未被 DFS 访问：i == 0；
   2. 已被其他节点启动的 DFS 访问：i == -1；
   3. 已被当前节点启动的 DFS 访问：i == 1。
2. 对 numCourses 个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。DFS 流程：
   • 终止条件：
     1. 当 flag[i] == -1，说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问，无需再重复搜索，直接返回 True。
     2. 当 flag[i] == 1，说明在本轮 DFS 搜索中节点 i 被第 2 次访问，即 课程安排图有环 ，直接返回 False。
   • 将当前访问节点 i 对应 flag[i] 置 1，即标记其被本轮 DFS 访问过；
   • 递归访问当前节点 i 的所有邻接节点 j，当发现环直接返回 False；
   • 当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点 flag 置为 −1 并返回 True。
3. 若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 True。

class Solution {
public:bool dfs(vector<vector<int>>& adjacents, vector<int>& flags, int curr) {if (flags[curr] == 1) return false;else if (flags[curr] == -1) return true;flags[curr] = 1;for (int i=0; i<adjacents[curr].size(); ++i) {if (!dfs(adjacents, flags, adjacents[curr][i])) return false;}flags[curr] = -1;return true;}bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {vector<vector<int>> adjacents(numCourses);vector<int> flags(numCourses, 0);for (vector<int> p: prerequisites) {adjacents[p[1]].push_back(p[0]);}for (int i=0; i<numCourses; ++i) {if (!dfs(adjacents, flags, i))  return false;}return true;}
};

与上题思路一致

BFS

class Solution {
private:// 存储有向图vector<vector<int>> edges;// 存储每个节点的入度vector<int> indeg;// 存储答案vector<int> result;public:vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {edges.resize(numCourses);indeg.resize(numCourses);for (const auto& info: prerequisites) {edges[info[1]].push_back(info[0]);++indeg[info[0]];}queue<int> q;// 将所有入度为 0 的节点放入队列中for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {if (indeg[i] == 0) {q.push(i);}}while (!q.empty()) {// 从队首取出一个节点int u = q.front();q.pop();// 放入答案中result.push_back(u);for (int v: edges[u]) {--indeg[v];// 如果相邻节点 v 的入度为 0，就可以选 v 对应的课程了if (indeg[v] == 0) {q.push(v);}}}if (result.size() != numCourses) {return {};}return result;}
};

DFS

class Solution {
private:vector<vector<int>> edges;vector<int> visited;bool valid = true;stack<int> S;void dfs(int u) {visited[u] = 1;for (int v : edges[u]) {if ( visited[v] == 1) {valid = false;return;}else if (visited[v] == 0) {dfs(v);if (!valid) return;}}visited[u] = 2;S.push(u);}public:vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {edges.resize(numCourses);visited.resize(numCourses);for (const auto& v : prerequisites) {edges[v[1]].push_back(v[0]);}for (int i=0; i<numCourses && valid; i++) {if (!visited[i]) dfs(i);}if (!valid) return {};else {vector<int> res;while (!S.empty()) {res.push_back(S.top());S.pop();}return res;}

解题思路参考：https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule/solution/course-schedule-tuo-bu-pai-xu-bfsdfsliang-chong-fa/