详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

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最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。

概率和统计是一个东西吗？

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。

统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

贝叶斯公式到底在说什么？

学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：
$P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)【式1】P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ 【式1】$
贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。

把B展开，可以写成：

$P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B∣A)P(A)+P(B∣Aˉ)P(Aˉ)【式2】P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A})}\ \ \ \ \ \ \ \ 【式2】$
其中 $Aˉ\bar{A}$ 表示：非 $A$ 。

这个式子就很有意思了。

想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？不。。你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”，B计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边 $A ∣ B$ 发生的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸引起（trigger） 警报响，即 $B ∣ A$ 。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作 $Aˉ\bar{A}$ ），其他原因引起汽车警报响了，即 $B∣AˉB|\bar{A}$ 。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了？）想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量（这即【式1】）。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即【式2】）。

可能有点绕，请稍稍想一想。

再思考【式2】。想让 $P (A ∣ B) = 1$ ，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让 $P(B∣Aˉ)P(Aˉ)=0P(B|\bar{A})P(\bar{A}) = 0$ 即可。很容易想清楚，假若让 $P(Aˉ)=0P(\bar{A}) = 0$ ，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

再思考【式2】。观察【式2】右边的分子， $P (B ∣ A)$ 为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是，若 $P (A)$ 很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则 $P (B ∣ A) P (A)$ 仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小， $P (A ∣ B)$ 还是大不起来。这里， $P (A)$ 即是常说的先验概率，如果 $A$ 的先验概率很小，就算 $P (B ∣ A)$ 较大，可能 $A$ 的后验概率 $P (A ∣ B)$ 还是不会大（假设 $P(B∣Aˉ)P(Aˉ)P(B|\bar{A})P(\bar{A})$ 不变的情况下）。

从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。

好了好了，说了这么多，下面言归正传，说一说MLE。——————不行，还得先说似然函数（likelihood function）。

似然函数

似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：

$P(X∣θ)P(X|\theta)$
输入有两个： $X$ 表示某一个具体的数据； $θ\theta$ 表示模型的参数。

如果 $θ\theta$ 是已知确定的， $X$ 是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点 $X$ ，其出现概率是多少。

如果 $X$ 是已知确定的， $θ\theta$ 是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现 $X$ 这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如， $f(x, y) = x^y$ , 即 , 即 $x$ 的 $y$ 次方。如果 $x$ 是已知确定的（例如 $x = 2$ ），那这就是 $f(y)=2^y$ ，是指数函数；如果 $y$ 是已知确定的（例如 $y = 2$ ），那就是 $f(x)=x^2$ ，是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

这么说应该清楚了吧？如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。

现在真要先讲讲MLE了。。

最大似然估计（MLE）

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为 $θ\theta$ ）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据 $x_0$ 是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率 $θ\theta$ 是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是二项分布。

那么，出现实验结果 $x_0$ （即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

$f(x0,θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ7(1−θ)3=f(θ)\begin{align} f(x_0,\theta)&=(1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta)\\ &=\theta^7(1-\theta)^3\\ &=f(\theta) \end{align}$
注意，这是个只关于 $θ\theta$ 的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出 $f(θ)f(\theta)$ 的图像：

在这里插入图片描述

可以看出，在 $θ=0.7\theta=0.7$ 时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对 $θ\theta$ 的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。ummm…这非常直观合理，对吧？

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信 $θ=0.7\theta=0.7$ 。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计（MAP）

最大似然估计是求参数 $θ\theta$ ，使似然函数 $P(x0∣θ)P(x_0|\theta)$ 最大。而最大后验概率估计则是想求 $θ\theta$ 使得 $P(x0∣θ)P(θ)P(x_0|\theta)P(\theta)$ 最大。求得的 $θ\theta$ 不单单让似然最大，而且 $θ\theta$ 自己的先验也得大。这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法。

MAP其实是在最大化 $P(θ∣x0)=P(x0∣θ)P(θ)P(x0)P(\theta|x_0)=\frac{P(x_0|\theta)P(\theta)}{P(x_0)}$ ，不过因为观测数据 $x_0$ 是确定的，即投出的“反正正正正反正正正反”。所以 $P(x_0)$ 是一个已知值，所以最终的形式去掉了分母 $P(x_0)$ 。比如假设 “投10次硬币记为一次实验”，实验做了 1000 次，出现 “反正正正正反正正正反” 的次数为 $n$ ，则 $P(x0)=n1000P(x_0)=\frac{n}{1000}$ 。总之，这是由观测数据所确定的值。最大化 $(\theta ∣ x_0 )$ 的意义也很明确， $x_0$ 已经出现了，要求 $θ\theta$ 取什么值使 $P(θ∣x0)P(\theta|x_0)$ 最大。顺带一提， $P(θ∣x0)P(\theta|x_0)$ 就是后验概率，这就是最大后验概率估计名称的由来。