盛金公式解一元三次方程_【国际数学竞赛】高次方程求根

104cd45e5be07740cf8a6941aa9c5ae5.png

对于一元二次方程

,我们由求根公式可得:

对于一元三次方程

,我们有
卡尔丹公式法盛金公式法。不过公式比较冗长、不易计算,但我们还是有方法计算的,那么如果是一元四次、一元五次甚至更高呢?

遇到高次方程

我们通常的做法是先用
试根法(the rational zero test)找到方程一个根c,然后根据Factor Theorem可知,
。于是,我们把P(x)次数降低了,只需要找
的根就可以了。如果次数还比较高,继续采用试根法找根、降次,直至找到所有的根。

bcaa6927a28f5b993b91431be0634619.png
图:试根法

这里给出一道例题:

91f9f3e64e4a68837d05e8a8a12fcb02.png
根据试根法可知,根是100的因子,从1开始,发现
是方程的一个根,那么

接着又发现
的根,所以得到:

最后得到方程的解为
,一共有2个有理数根,先C。

可以发现试根法是一种不错的求解高次方程的方法,但是比较繁琐,需要找到根才能用,如果方程没有实根,那么找根的难度就更大了。

下面分享两道国际数学竞赛中的高次求根,抛砖引玉。

2018-美国区域联赛(ARML)-Team Round-14

Compute the sum of the real roots of

.

这是一个一元六次方程,问题是要找到所有实数根的和,如果是所有根的和,那么直接用高次韦达定理就解决了,说明还是要把所有的根解出来的。第一道题采用整式合并的方法

因为
,所以

因为
不是方程的根,所以两边可以同时除
,可得

根据对称性可知,如果
是方程的一个根,那么
也是方程的一个根,所以两个实数根的和为:

这道题虽然是一元六次方程但是发现可以通过完全立方公式化简合并,当然这需要对公式有较为深刻的认识。下面给出几个常见的公式:

接下去再给出一道题

2016-杜克数学大会(DMM)-Individual Round-9

Find the root with the largest real part to

over the complex numbers.

根据代数基本定理一个四次方程应该有4个根,而现在要在复根中找到实部最大的,说明我们要算出这些根然后进行比较。第二道题采用整体代换的方法。

因为
不是方程的根,所以两边同除以
可得:

,

,原式就变为:

这是一个一元二次方程,可用十字相乘法得到

于是得到两个方程:

那么,可以解得
,

发现都是实数根,所以最大的根为:

这里采用整体代换的方法把一个一元四次方程转化成了一元二次方程,顺利的求得了四个根,令

也是比较常见的代换技巧。
一般的高次方程求解是比较困难的,不同的方程可能要采用不同的方法求解,不过试根法、整体代换等都是可以考虑。

今年DMM中国区终选Team round第5题又出现了一道高次方程求解的问题。

2019-DMM中国区终选-Team Round-5

Find the real root of the polynomial
.

这道题因为看不出对称,不像上一题除以

就能看出来了,但是方法还是用了我们上述讲的代换方法。
,则

因此,

于是,令
,上式变为
,因此
.

这里出题者应该是先想好了要考

的代换,然后凑了一个整系数的高次方程,所以之后如果遇到高次方程不妨试试
。类似的,我们也可以把上述问题变为:
Find the real root of the polynomial
.

那么这里就要令

进行代换了。

一己拙见,欢迎交流指正~~

更多关于国际数学竞赛知识,可参阅:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/62918360​zhuanlan.zhihu.com

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/527799.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

3c vrrp的接口监视_主备冗余协议,VRRP基础,状态机选举及VRRP配置,理论+实战...

一、VRRP基础概念1、虚拟路由冗余协议VRRP(Virtual Router Redundancy Protocol)通过把几台路由设备联合组成一台虚拟的路由设备,将虚拟路由设备的IP地址作为用户的默认网关实现与外部网络通信。当网关设备发生故障时,VRRP机制能够选举新的网关设备承担数…

去除标题_你真的会写标题吗?企优托教您打造黄金标题离不开这三步

一、标题作用解读标题对于产品的意义买家购买逻辑想到一款产品,并知道他的名称去网上搜索,看到图片等信息类比价格评价等内容,下单收到货和自己根据标题照片评判商品核心要点:买家是根据产品名字作为购买切入点;照片和…

18f458中断入口C语言_操作系统开发之——中断

这里先提交一个代码的错误,之前运行过快,没看出刷屏的问题:// kernel/console.c...void init_console(void) {... // Before: // console_fixed_height ScreenHeight - 16; // console_fixed_height (ScreenHeight / 16 - 1) *…

可选版本 安装软件_【Linux软件】在Deepin系统下安装LibreOffice 6.1.4版本的方法

在Deepin系统下安装LibreOffice 6.4.1版本的方法使用的是Deepin系统,从深度应用商店看到有LibreOffice,安装了一下,发现ui是真的丑,就像是十年前的xp那样,记得前段时间在Windows用的时候UI基本重写了,发生了…

python query方法_Pandas dataframe.query方法语法

问题:我想更好地理解PandasDataFrame.query方法以及下面的表达式表示什么:match dfDays.query(index > x.name & price > x.target)x.name代表什么?我理解这段代码(一个包含pandas.tslib.Timestamp数据的新列)的结果输出是什么&am…

python刷新_如何在python中刷新输入流?

这将有助于了解您正在使用的操作系统,因为这是一个非常特定于操作系统的问题。例如,Kylar的答案在Windows上不起作用,因为sys.stdin没有fileno属性。我很好奇,用咒语拼凑出一个解决方案,但这在Windows上也行不通&#…

9550电机_电机转矩T=9550*P/N推导。

很奇怪,这个公式怎么来的,原来好多是基础物理的,也许我们初中高中物理书上多有,基础真的是很基础的基础。PF*V (1) ,即功率力*速度TF*R (2) ,即力矩力*作用长度 ,在电机里面就是转矩力*作用半径;看公式(2)…

oracletns中不存在名称为_关于数据库:向SQL Developer添加新连接时未显示Oracle TNS名称...

我正在尝试使用SQL Developer连接到oracle数据库。我已经安装了.Net oracle驱动程序并将tnsnames.ora文件放在C:\Oracle\product\11.1.0\client_1etwork\Admin我在tnsnames.ora中使用以下格式:dev (DESCRIPTION (ADDRESS (PROTOCOL TCP)(HOST 192.168.XXX.XXX)(P…

的表格点击全选_“逼死”强迫症的杂乱表格,原来3秒就能整理好!(必学)...

点击上方蓝字关注星标★不迷路本文作者:长小安视频策划:视频小分队本文编辑:竺兰哈喽大家好!你们可爱的小安又来啦~相信在工作中经常接触表格的人,总会有这样的困扰:表格数据太多,行高列宽不合适…

linux 重置网卡配置_Linux不进入网卡配置文件更改静态ip

1、找到网卡配置文件名ls /etc/sysconfig/network-scripts/2、备份并查看原始配置文件(若原先有配置IP的,则按照第五点方式修改)3、修改随机自启和IP地址echo -e "IPADDR192.168.43.12 \nNETMASK255.255.255.0 \nGATEWAY192.168.43.1" >> /etc/sysc…

php mysql电商网站设计与制作_赢在电子商务——php+mysql电商网站设计与制作

{"moduleinfo":{"card_count":[{"count_phone":1,"count":1}],"search_count":[{"count_phone":4,"count":4}]},"card":[{"des":"阿里云数据库专家保驾护航,为用户…

mysql从盘延迟_Mysql-主从延迟解决方法

Mysql 的主从延迟 指的是 主库受写入 后 到这个写入能体现在 从库上 的这段时间Mysql 的主从延迟 有两个原因:1. 写操作 已经在 主库中执行了,但是 binlog 还没有发送出去, 后者还在路上,没有被 从库收到2. 虽然 binlog 已经被 从…

php程序访问mysql数据实现查询_PHP+MySql实现后台数据的读取

我们使用的是PHP的php_mysqli扩展首先了解一些基础的用法1.连接数据库使用mysqli_connect()参数:①主机地址 ②MYSQL用户名 ③MYSQL密码 ④选择连接的数据库 ⑤端口号返回:如果连接成功返回资源类型的标识符号,如果失败返回false如果我们与My…

idea测试连接mysql报错08001_IDEA连接MySQL(版本8)数据库失败的解决方法(报错08001)...

在IDEA自带的数据库连接工具中,可以连接MySQL数据库,但是有的时候连接出现08001错误,连接不上数据库。1、一般配置如下所示Database处填写数据库名字;User处填写mysql设置好的用户名;密码同理填写设置好的;…

mysql存儲過程_Mysql存儲過程 | 學步園

一.創建存儲過程在創建存儲過程之前,首先要了解delimiter 分界符,默認sql 語句分界符是 ; 分號,但為了寫較長的存儲過程,需要將默認分割符修改掉,建議修改為 //,如此之後,sql 語句必須使用// 才算是一段完整…

mysql乐观锁重试_乐观锁加重试,并发更新数据库一条记录导致:Lock wait timeout exceeded...

背景:mysql数据库,用户余额表有一个version(版本号)字段,作为乐观锁。更新方法有事务控制:Transactional(rollbackFor Exception.class)更新时,比对版本号,如果版本号不一致,则更新失败。有重试…

mysql集群需要几个ip_rac集群3组机器,scan到底需要几个IP?

这是scan ip的解析, scan ip 最多可以设置3个,最少是一个,不管有几个nodehttp://docs.oracle.com/cd/E11882 ... ncepts.htm#BABHEIBDD.1.3.5 About the SCANOracle Database 11g release 2 clients connect to the database using SCANs. Th…

信息管理系统 github_Java+MySQL实现学生信息管理系统

基于Java swingMySQL实现学生信息管理系统:主要实现JDBC对学生信息进行增删改查,应付一般课设足矣,分享给大家。源码:https://github.com/ZhuangM/student.git1、 开发环境:jdk7MySQL5win7代码结构:model-d…

smith标准型_线性系统理论(八)多项式矩阵Smith-McMillan标准型计算方法

1 参考[1]Chenglin Li:线性系统理论(七)finite- and infinite-zeros​zhuanlan.zhihu.com多项式矩阵Smith-McMillan标准型确定方法分析2 单模矩阵法Chenglin Li:线性系统理论(七)finite- and infinite-zero…

Python学习笔记(二) 数据类型及相关函数

本文主要介绍了python中注释方法、变量定义规则、数据类型及相关函数的内容 注释 注释方法: “”“ ”“” ’’’ ‘’’ 解释器位置特殊注释: #!/usr/bin/python3 #coding:utf-8 指定编码格式 #--coding:utf8-- 变量名称定义规则 python变量名称…