已知法向量 求投影_MIT—线性代数笔记15 子空间投影

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第15讲 子空间投影

Projections onto subspaces

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  • 投影(射影)Projections

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投影问题的几何解释就是:如何在向量a的方向上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出,这个距离最近的点p就位于穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是ba上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似,则长度e=b-p就是这一近似的误差。

因为p在向量a的方向上,因此可以令p=xa,而因为它和e正交,我们可以得到方程:

解得:x=

p=

如果b变为原来的2倍,则p也变为原来的2倍。而如果a变为原来的2倍,p不发生变化。从几何上和计算中都会得到验证。

本单元前半部分的核心内容就是射影。上一单元我们最核心的内容是认识消元法对于线性方程组的意义,并用矩阵的数学语言实现了消元过程,在那里最核心的策略就是利用矩阵乘法中的行操作来实现这一过程。这里面临类似的情况,我们有一个明确的几何目标,要将向量投影到已知子空间,而这里的策略就是误差向量和已知子空间正交,即两者求点积为0。
  • 投影矩阵 Projections matrix

我们将投影问题用投影矩阵的方式进行描述,即为p=Pb,其中P为投影矩阵。

p=

。则有
P
。,其分子
是一个矩阵,而分母
是一个数。

观察这个矩阵可知,矩阵P的列空间就是向量a所在的直线,矩阵的秩是1。投影矩阵P是一个对称矩阵。另一方面,如果做两次投影则有

,这是因为第二次投影还在原来的位置。因此矩阵
P有如下性质:
  • 为什么要投影 Why Project

如前所述,方程Ax=b有可能无解,我们需要得到方程的“最优解”。这里的问题在于向量Ax一定在矩阵A的列空间之内,但是b不一定,因此我们希望将b投影到A的列空间得到p,将问题转化为求解

  • 在高维投影 Projection in higher dimensions

R3空间内,如何将向量b投影到它距离平面最近的一点p

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如果a1和a2构成了平面的一组基,则平面就是矩阵A=[a1 a2]的列空间。

已知向量p在平面内,则有p=

。而
与投影平面正交(
重点),因此ea1和a2均正交,因此可以得到:
并且
。因为
a1和a2分别为矩阵A的列向量,即
为矩阵
的行向量,所以将两个方程式写成矩阵形式即为
。这与一维投影的方程形式相同。

向量

存在于矩阵
的零空间N(
)里,从上一讲讨论子空间的正交性可知,向量
e与矩阵A的列空间正交,这也正是方程的意义。

将方程

改写,可得
。两侧左乘
,得到:

因为矩阵A不是方阵,无法简单的用

对投影矩阵公式进行化简。若
A是可逆方阵,则化简得到P=I。此时A的列空间就是整个Rn空间,b到这个空间的投影就是其本身,投影矩阵等于单位阵。

用矩阵乘法的结合律和矩阵乘积的转置公式,可以证明投影矩阵的性质:
  • 最小二乘法 Least Squares

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应用投影矩阵求方程组最优解的方法,最常用于“最小二乘法”拟合曲线。

有三个数据点{(1,1), (2,2), (3,2)},求直线方程b=C+Dt,要求直线尽量接近于三个点。把三个点的数据代入方程则有:

C+ D=1

C+2D=2

C+3D=2

矩阵形式为

这个的方程Ax=b是无解的,解决办法就是求其最优解,即方程

的解。

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