每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n) ， 一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在 。
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
逆元的定义：定义：正整数 a, n，如果有 ax ≡ 1(mod n)，则称 x 的最小正整数解为 a 模 n的逆元。
为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求(a/b) mod p的值，且a很大，大到会溢出；或者说b很大，达到会爆精度。无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。
求证：设k为b关于p的乘法逆元，证明(a/b)%m=(a*k)%m?
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。
证：
根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
k=(p*x+1)/b。
把k代入(a*k) mod p，得：
(a*(p*x+1)/b) mod p
=((a*p*x)/b+a/b) mod p
=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p*[(a*x)/b] mod p=0
所以原式等于：(a/b) mod p
更简单的证明：
a/b mod p = a* (b*b^(-1) ) /b =a*b^(-1);
一、循环找解法
给定模m和需要求逆的数x，直接暴力枚举1~m-1
检查是否有x*i=1(mod m)
这种算法可以应用与写暴力、对拍、模数较小,求逆次数少的情况
时间复杂度O(m)
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i
if(i*n%m==1) {
printf("%d\n",i);
break;
}
}
return 0;
}
二、扩展欧几里得算法
给定模数m，求a的逆元相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可
( 用我自己的话解释一下，①：extgcd 目的 求 x ,y ； ②：逆元 目的 求 x； ③： so 用extgcd 来求逆元 )
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，如果gcd(a,n)>1,则不存在逆元：比如：18 12
#include
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {
x=1,y=0;
return a;
}
int r = exgcd(b,a%b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return r;
}
int inv(int n,int m)
{
int x,y;
int ans = exgcd(n,m,x,y);
if(ans == 1)
return (x%m+m)%m;
//定义：正整数 a, n，如果有 ax ≡ 1(mod n)，则称 x 的最小整数解为 a 模 n的逆元。
else
return -1;
}
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
int ans = inv(n,m);
ans == -1 ? cout<
return 0;
}
/*
intput:
5 7
22 29
100 97
18 12
output:
3
4
65
没有逆元
*/
三、费马小定理及欧拉定理
四、O(n)求1~n逆元表
(这个写的不是很详细，具体看那个链接)
ps:
a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)
ax≡1(mod p) 读作：a关于模p的乘法逆元。
