目录
一.引言
二.图的简介
1.Graph 图
2.Undirected graph 无向图
3.Directed Graph 有向图
4.DFS / BFS 遍历
三.经典算法实战
1.Num-Islands [200]
2.Land-Perimeter [463]
3.Largest-Island [827]
四.总结
一.引言
Graph 无论是应用还是算法题目在日常生活中比较少见,但是其应用非常广泛,现在社交关系网络很多内容都是基于 Graph 构建的,例如我们常见的各类 GraphEmbedding,其就是基于社交关系网络图进行游走生成对应 Node Embedding。
二.图的简介
1.Graph 图
由点和边构成的数据结构即可称之为图,其在代码中一班以 Graph(V, E) 来表示,其中 V 代表点,是顶点的有穷非空集合,E 代表边,是 V 中顶点偶对的有穷集合,偶对我们可以理解为每一条边都有左右两个端点,所以需要偶对。点有入度和出度之分,即从该点出发有几条路径,如果是无向图二者相等。边除了方向外,有的场景还有权重,例如社交场景评估两个相邻用户的亲密度 E 就是有权重的,默认情况下所有边的权重均为 1,即众生平等。
2.Undirected graph 无向图
◆ 无向无权图
图一般使用邻接矩阵或邻接列表的形式表示点之间的关系,边的关系则蕴含在两点之间。
◆ 无向有权图
默认情况下,边的权重都唯一,实际工业场景下,边之间往往通过 weight 来描述两个点之间的关联程度,如果使用邻接矩阵,那么直接在对应位置赋值 weight 即可,如果是邻接列表则可以使用一个二元组进行表示。注意: 不论是无向有权还是无向无权,其对应的邻接矩阵是对称矩阵,因为 0-1 相连必然 1-0 也相连。
3.Directed Graph 有向图
有向图只会在存在的方向上表示,例如 0->1,那么邻接矩阵 [0, 1] 是有值的,但 [1, 0] 为 0,此时邻接矩阵就不在是对称矩阵,除非每个边都是双向的。有向有权图可以参考上面的无向有权图,我们只需给矩阵修改 weights,数组转换为二元组即可。
4.DFS / BFS 遍历
◆ DFS
深度优先遍历,这里与二叉树的遍历有一点不同是图可能存在环,从而导致元素重复,所以需要进行节点的去重。其实现遵循递归,也满足递归的三要素:
- 边界条件 判断节点是否被访问
- 处理逻辑 添加当前处理的点
- 自身调用 继续处理未处理的点
处理中不断向 next_node 出发,所以是深度优先。
◆ BFS
广度优先遍历,其会向两边扩展搜索,二叉树的层数遍历就可以通过 BFS 实现,下面方法中 generate_related_nodes 其实就是搜索两边或者周围节点的伪代码,后续我们会带来 DFS、BFS 更详细的介绍和代码。大家在这里只要明确图遍历中,DFS 和 BFS 是很重要的两种方法即可。
三.经典算法实战
1.Num-Islands [200]
岛屿数量: https://leetcode.cn/problems/number-of-islands/
◆ 题目分析
海岛的形态与数字 0、1 的关系,我们需要遍历一个点周围的情况判断,以 [0, 1] 的点为例,我们以其为起点进行遍历,对于二叉树而言,其拥有 left 和 right 两个遍历方向,而对于网格问题,其拥有上下左右四个方向,遇到 1 就继续遍历,遇到 0 则停止遍历,当无法继续扩展时,代表遍历完成,此时就生成一个岛屿。这里还有一个问题,就是 for 循环遍历岛中的节点,会有重复的情况,例如遍历 [0, 1] 和 [1, 1] 的点都可以生成岛屿 1,所以这里我们还要对遍历过的岛屿进行标记,防止其他节点再扩展,这样重复的问题也可以解决。
至于上下左右的界定,我们针对 (x, y) ± 1 即可,需要注意出格的行为,即 (x, y) 超出岛屿范围。和二叉树类比的话,停止条件就是遇到 0 或者遇到访问过的点 Visted Point 或者出格 Out of Bound,就好比是 root == None;而遍历 left、rigth 则变成 (r-1, c)、.....、(r+1, c)。
◆ DFS
class Solution(object):def numIslands(self, grid):""":type grid: List[List[str]]:rtype: int"""# 异常情况if not grid:return 0# 记录岛屿数量count = 0# 遍历岛屿for row in range(len(grid)):for col in range(len(grid[0])):if grid[row][col] == "1":# 沿 (row, col) 递归遍历上下左右self.dfs(grid, row, col)count += 1return countdef inArea(self, grid, row, col):return 0 <= row < len(grid) and 0 <= col < len(grid[0])def dfs(self, grid, row, col):# 不在网格 -> 返回if not self.inArea(grid, row, col):return# 不是岛屿->返回 if grid[row][col] != "1":return# 已遍历标记grid[row][col] = "2"self.dfs(grid, row - 1, col) # 上self.dfs(grid, row + 1, col) # 下self.dfs(grid, row, col - 1) # 左self.dfs(grid, row, col + 1) # 右
inArea 函数负责判断当前点是否在 grid 网格区域内,超出网格则停止 DFS,其次针对遍历过的 "1" 即陆地,为了防止 DFS 重复循环,我们需要将其换一个标记从而避免重复,最后上下左右探索即可。每探索一次,如果能够发现陆地则陆地全部被标记为已走,则下次无法遍历,从而划分出一块一块土地。
如上图所示,遍历到 [0, 1] 位置时会扩展出岛屿1,遍历到 [0, 3] 位置时扩展出岛屿 2,以此类推,每次 count += 1 即可,当 grid 里没有 "1" 即陆地时,遍历结束。
2.Land-Perimeter [463]
岛屿的周长: https://leetcode.cn/problems/island-perimeter/description/
◆ 题目分析
和上题很像,也是 grid 中的岛屿,这不过这里有一个限定即只有一个岛屿,所以我们 BFS 一次就能 get 到整个岛屿。观察图像可以发现,对于 (row, col) 而言如果下一个点在海里或者 grid 外,这里便存在一个边即属于周长的边,画个图理解下,红色箭头是出 grid 的边,蓝色箭头是入海流,正所谓红头依山尽,蓝头入海流:
◆ DFS
class Solution(object):def islandPerimeter(self, grid):""":type grid: List[List[int]]:rtype: int"""# 寻找小岛的起点for row in range(len(grid)):for col in range(len(grid[0])):if grid[row][col] == 1:return self.dfs(grid, row, col)return 0# 是否在 grid 网格内def inArea(self, grid, row, col):return 0 <= row < len(grid) and 0 <= col < len(grid[0])def dfs(self, grid, row, col):# 蓝色箭头 -> 出格 -> 边长 + 1if not self.inArea(grid, row, col):return 1# 红色箭头 -> 出海 -> 边长 + 1if grid[row][col] == 0:return 1# 只剩 == "2" 的已经遍历的情况了,忽略if grid[row][col] != 1:return 0grid[row][col] = 2return self.dfs(grid, row - 1, col) + self.dfs(grid, row + 1, col) + self.dfs(grid, row, col - 1) + self.dfs(grid, row, col + 1)
红箭头出海,蓝箭头出格,这两个情况 +1 其余情况说拜拜即可,dfs 遍历思路与上面相同,也是上下左右出发。
3.Largest-Island [827]
造海填路问题: https://leetcode.cn/problems/making-a-large-island/
◆ 题目分析
grid 网格内有多个岛屿,通过将一块海洋改变陆地,求填海造地后最大的面积,这里我们可以借助第一题的思路,先把陆地都照出来,然后遍历 "0" 即海洋,看哪个海洋变成陆地后,可以连接更多土地。 除此之外,我们还需要对相连的陆地给与记号,保证面积不会重复累加。
◆ DFS
#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-class Solution(object):def largestIsland(self, grid):""":type grid: List[List[int]]:rtype: int"""if not grid:return 0# 标记访问节点,记录每个岛屿面积index = 2location = {}visited = set()for row in range(len(grid)):for col in range(len(grid[0])):# 每块陆地标记为一个记号if grid[row][col] == 1:self.dfs(grid, row, col, index, location, visited)index += 1# 通过原始岛屿信息更新 maxif location:max_island = max(location.values())else:max_island = 0for row in range(len(grid)):for col in range(len(grid[0])):# 找到海洋并计算联通面积if grid[row][col] == 0:max_island = max(self.getAroundArea(grid, row, col, location), max_island)return max_islanddef getAroundArea(self, grid, row, col, location):# 记录最大面积res = 1# 同一块陆地算一次area = set()# 上下左右找陆地if self.inArea(grid, row + 1, col) and grid[row + 1][col] != 0:area.add(grid[row + 1][col])if self.inArea(grid, row - 1, col) and grid[row - 1][col] != 0:area.add(grid[row - 1][col])if self.inArea(grid, row, col + 1) and grid[row][col + 1] != 0:area.add(grid[row][col + 1])if self.inArea(grid, row, col - 1) and grid[row][col - 1] != 0:area.add(grid[row][col - 1])# 土地去重相加if location and area:for index in area:res += location[index]return resdef dfs(self, grid, row, col, index, location, visted):# 不在网格 -> 返回if not self.inArea(grid, row, col):return# 不是岛屿->返回if grid[row][col] != 1:return# 已遍历标记grid[row][col] = indexif index not in location:location[index] = 0if (row, col) not in visted:visted.add((row, col))location[index] += 1self.dfs(grid, row - 1, col, index, location, visted) # 上self.dfs(grid, row + 1, col, index, location, visted) # 下self.dfs(grid, row, col - 1, index, location, visted) # 左self.dfs(grid, row, col + 1, index, location, visted) # 右# 是否在 grid 网格内def inArea(self, grid, row, col):return 0 <= row < len(grid) and 0 <= col < len(grid[0])
dfs 负责在 grid 中寻找土地并标记,getAroundArea 负责遍历每一片海,并在海的上下左右寻找可能存在的岛屿,如果存在则将此地造海 res = 1,再加上发现的陆地的面积,最后更新 max 即可。这个方法的优点是思路很好理解,但是本题边界情况很多,需要判断的空 set、dict 也很多,而且遍历多次时间复杂度也较高。
四.总结
上面介绍了图 Graph<V,E> 的一般概念,以及通过 BFS 解决图的一些相关问题,图的题目整体考察不多,但是 DFS、BFS 的用法还是要熟悉。这里关于上面图 DFS 遍历的算法,推荐大家参考乐扣大神的题解,思路非常清晰: 岛屿相关问题 DFS 思路。