1.旋转向量：

满足以下关系

(E单位阵)

进一步得到：

 

p经过旋转和平移得到,公式表达如下：

;(t平移矩阵)

我们可以将上面的式子写成齐次：

= 

T也成为变换举证（transform Matrix）

它的反变换可以表示如下：

2.四元数

紧凑和无奇异性

用四元数的旋转表示：

2.相似变换

相较于欧式变换，相似变换的特点是保形状，但不保距，即一个正方形经过相似变换的作用后，仍然是一个正方形，但大小和以前不一样了；一个圆经过相似变换的作用后，仍然是一个圆，但大小和以前不一样了，即相似变换保住了图形中各边之间的比例，但是各自的实际尺寸大小却发生了改变，比如一个三角形，三条边是3，4，5，作用了相似变换后，变成了0.3，0.4，0.5，三条边的比例仍然是3：4：5，但各自的大小却变了。体现在公式上，相似变换的定义如下：

即比欧式变换多了一个尺度因子s

3.仿射变换

无论是欧式变换还是相似变换，其中都有一个比较特殊的矩阵 R——正交矩阵。这个正交矩阵保证了在变换的作用下，物体的形状不会发生改变。那么，如果把 R换成其他任意的矩阵A 呢？

很容易想到，此时的变换就不在保形状了，不过，该变换仍有一些不变的量，我们称之为不变量：

（1）平行线：原本平行的两个直线在仿射变换的作用下，仍然是平行线。

（2）平行线段的长度比。

（3）面积比。