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本文链接   ： http://www.cnblogs.com/Yan-C/p/3943940.html 。

哎呀，好久了啊，想写这篇博文好久了，但是因为懒的原因 一直迟迟没动手啊。

今天，终于在长久的懒惰下，突然来了那么一点热度。把这篇博文写一下。

本文分为以下几个部分 ：

1、  拓扑排序

2、  并查集

3、  普利姆算法  &  优先队列优化

4、  克鲁斯卡尔算法

前情提要 ：  本文的存图方式 只有两种 ：  邻接矩阵 or  前向星。

1、 拓扑排序

我们起床穿裤子和鞋子时，相信大部分人的顺序是这样的，先穿上内裤，然后再穿上裤子，再穿上袜子，然后才是鞋子。  那么 ，我们把这些步骤分解：

(1)穿内裤

(2)穿裤子

(3)穿袜子

(4)穿鞋子

我们把这四个步骤，按照上述的顺序 给排一下， 这就是所谓的拓扑排序 。

当然这个排序的顺序是 唯一 的，如果你先进行(2)然后(1)(3)(4)，哦，不，你不是超人，请不要这样做， 又假如你按照(1)(2)(4)(3)， 那显然也是不行的。

拓扑排序 也可以描述一个 暑假写作业 的过程 ： 语文作业，数学作业，英语作业，生物作业，化学作业，物理作业。

(1)  语文

(2)  数学

(3)  英语

(4)  生物

(5)  化学

(6)  物理

你可以是(1)(2)(3)(4)(5)(6),也可以是(6)(5)(4)(3)(2)(1)，再者英语老师比较凶，那么可以是(3)(1)(2)(4)(5)(6)。等等其他的排序方式。

那么这个排序又是 不唯一 的。

因此  拓扑排序可能是唯一的又有可能是不唯一的。

就像 3个篮球队进行比赛。  编号分别为 1  ， 2 ， 3。

1打赢了2

2打赢了3

3打赢了1。 问谁是最后的冠军。 各一胜一负你问我谁是冠军 ，这不是扯蛋嘛。 So，这是不能判断谁是冠军的，  因为这个事件存在一个 环，互相牵制，进行排序是不行产生结果的。

如果这样  ：

1打赢了2

3打赢了2

那么最后的冠军可能是不确定的，因为你不知道1和3 谁强。 所以只能是 1,3并列了，你如果喜欢大数在前 那就是3 1 2，反之，就是1 3 2了。

拓扑排序其实就是这个样子。

前面大篇幅的扯犊子，主要是介绍什么是拓扑排序。 那么我们要讨论一下，怎么样进行拓扑排序呢？  哎，这个问题好！

插播 ：

我们再次的从 1  2  3  这三支队伍的冠军争夺赛说起。

1打赢了2  因为2输了一场比赛，所以要给2做一标记。因此2号的菊花上就出现了一杆长枪。 我们称这个标记为 入度 那么2的入度就是 1了。

3打赢了2   因为2又输了一场比赛，又是一杆长枪啊。为什么受伤的总是2。  那么2的入度 就++了  变成 了2。

好了  这就是 什么是  入度  了。  如果你还不是很懂 入度是什么 。那我告诉你， 入度 在这里就是2号被打败了几次 。

那我们 就要 进入正题了。

拓扑排序 ：

由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。

(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；

(2) 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。 （摘自 ： 百度百科）

我们继续 以题来进行讲解和理解的加深。

题目链接： 在这

因为数据较小，我们可以使用邻接矩阵进行存储。  这是第一种方法。

题解在这 ：

主函数 对数据的获取 和存图。

 1 int main() {
 2     int n, m;
 3 
 4     while (scanf("%d %d", &n, &m) == 2) {//多组输入， 获取n, m
 5         memset(G, 0, sizeof(G));//初始化
 6         memset(deg, 0, sizeof(deg));//初始化
 7         while (m--) {
 8             int u, v;
 9             scanf("%d %d", &u, &v);//获取 u,v  u打败过v
10             if (G[u][v] == false) {//防止重边 如果被同一个对手打败多次，也太伤v的心了
11                 G[u][v] = true;//标记为真
12                 deg[v]++;//v的入度++   一杆长枪入洞了。
13             }
14         }
15         toposort(n);//调用函数
16     }
17     return 0;
18 }

拓扑排序的函数 :

 1 void toposort(int n) {//拓扑排序
 2     int k = 0;
 3 
 4     for (int i = 1; i <= n; i++) {//共进行|G.V|次操作
 5         for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有的顶点  找入度为0的
 6             if (deg[j] == 0) {//找到
 7                 printf("%d%c", j, i == n ? '\n' : ' ');//输出
 8                 deg[j]--;//去掉这个点  让deg[j] = -1;
 9                 k = j;//记录这个点
10                 break;//跳出循环
11             }
12         }
13         for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历所有的点
14             if (G[k][j] == true) {//找被此点打败过的点
15                 G[k][j] = false;//标记为找到过
16                 deg[j]--;//让这个点的入度-1
17             }
18     }
19 }

此算法的时间复杂度为 O（n * n）  复杂度挺高的呢。

那我们要想办法优化啊。

来了 ， 第二种  时间复杂度为 O（V + E）  在这个算法中 我们用到了 前向星  和  优先队列。

1 priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > que;//优先队列
2 struct node {//前向星的结构体
3     int v;//输队编号
4     int next;
5 };
6 node edge[VM * 4];//结构体数组
7 int head[VM];//头指针数组
8 int cnt;//下标

主函数对数据的获取和 图的存储

 1 int main() {
 2     int n, m;
 3     int i;
 4 
 5     while (scanf("%d %d", &n, &m) == 2) {//多组输入 ，获取n,m
 6         memset(head, -1, sizeof(head));//初始化
 7         memset(deg, 0, sizeof(deg));//初始化
 8         cnt = 0;//初始化
 9         while (m--) {
10             int u, v;
11             scanf("%d %d", &u, &v);//获取u,v
12             for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)//查找重边
13                 if (edge[i].v == v)//输入重复数据
14                     break;//不再储存
15             if (i == -1) {//若不是重复数据
16                 deg[v]++;//加边
17                 edge[cnt].v = v;
18                 edge[cnt].next = head[u];
19                 head[u] = cnt++;
20             }
21         }
22         toposort(n);//调用函数
23     }
24     return 0;
25 }

 1 void toposort(int n) {
 2     priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > que;//优先队列
 3 
 4     for (int i = 1; i <= n; i++)//找所有点
 5         if (deg[i] == 0) {//入度为 0
 6             que.push(i);//加入队列
 7             deg[i]--;//入度 变为 -1
 8         }
 9     int k = 1;
10     while (que.empty() == false) {//队列不为空
11         int u = que.top();//取出队首的数
12         que.pop();//删除
13         printf("%d%c", u, k++ == n ? '\n' : ' ');//输出
14         for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//与该点相连的
15             node e = edge[i];//便于书写
16             deg[e.v]--;//点的入度 -1 
17             if (deg[e.v] == 0)//若此点的 入度为 0
18                 que.push(e.v);//放入队列
19         }
20     }
21 }

拓扑排序 讲解 完毕。

2、并查集

并查集从字面上最起码可以看出是一个集合，而且是能并（合并吗？） 能查的集合。集合也就是分组，一组一组的数据，这一组就是一个集合嘛。

并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。  并查集，并查集，那么他的功能肯定就是  并  和 查。

他可以高效的进行 ：

并   合并元素a和元素b所在的组。

查   查询元素a和元素b是否属于同一组。

并查集可以进行合并 但是却不能进行分割。

并查集的结构 是 树形结构，但是他却不是二叉树，因为是树，所以必定有根节点，根节点就是这个集合，这个分组中最大的统领着 。

对于并查集呢，主要是有 两部分函数 构成， 一个是 union()函数 也就是我们所说的并（合并），另一个是 find()函数   也就是所说的查函数。

对于并查集不会画图真的是好纠结。

对于并查集，大家看这个大牛的博客的讲解吧，  如果大家不想看的话，可以直接看下面的代码讲解，注释还是很清晰的。

http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html

看完讲解 大家可以看一下这些题目加深一下。（脑子有点乱乱的，原谅我的“乱来”）。

我们对并查集的初始化

1 for (int i = 1; i <= n; i++)
2             par[i] = i;//这是初始化

这是find() 函数

1 int find(int x) {//查找函数
2     if (par[x] == x)//若本身就是根节点 ，那么return
3         return x;
4     return find(par[x]);//不是的话，继续查找
5 }

这是合并函数

1 void unite(int x, int y) {//合并函数
2     x = find(x);//查找x的根节点
3     y = find(y);//查找y的根节点
4     if (x == y)//若这两个数的结点是一样的，那么他们本来就是一个分组里的了，所以没有操作
5         return ;
6     par[x] = y;//不然的话，就让其中的一个点成为另一个点的根节点。
7 }

还有一个判断的 same函数

1 bool same(int x, int y) {
2     return find(x) == find(y);
3 }

same函数 下面的题解中都是 直接判断的，所以就把same这个函数直接放在了里面，就这样 same 函数 被我隐藏了。

这上面的  查找函数和合并函数 都是未经优化的，是比较原始的，下面我们用它做一道题。

题目链接在这 我就是题目链接

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <queue>
 6 #define LL long long
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 const int INF = 1e9+7;
11 const int VM = 100003;
12 
13 int par[VM];
14 
15 int find(int x) {//查找函数
16     if (par[x] == x)//若本身就是根节点 ，那么return
17         return x;
18     return find(par[x]);//不是的话，继续查找
19 }
20 
21 void unite(int x, int y) {//合并函数
22     x = find(x);//查找x的根节点
23     y = find(y);//查找y的根节点
24     if (x == y)//若这两个数的结点是一样的，那么他们本来就是一个分组里的了，所以没有操作
25         return ;
26     par[x] = y;//不然的话，就让其中的一个点成为另一个点的根节点。
27 }
28 
29 int main() {
30     int n, m;
31     int t = 0;
32 
33     while (scanf("%d %d", &n, &m), n + m) {
34         for (int i = 1; i <= n; i++)
35             par[i] = i;//这是初始化
36         while (m--) {
37             int u, v;
38             scanf("%d %d", &u, &v);
39             unite(u, v);
40         }
41         int ans = 0;
42         for (int i = 1; i <= n; i++)
43             if (i == par[i])
44                 ans++;//计数
45         printf("Case %d: %d\n", ++t, ans);//输出
46     }
47     return 0;
48 }

既然说了上面是未优化的，那这儿就要说一下优化的喽。

我们的代码需要用到路径压缩 和 这课树（也就是分组）的高度。

若不知道这两个东东的 话  ，还是这位大牛的 http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html

find函数的优化

int find(int x) {//查找函数if (par[x] == x)//若本身就是根节点 ，那么returnreturn x;return par[x] = find(par[x]);//不是的话，继续查找，并且进行路径压缩。//上面为递归版本/*int a = x;while (a != par[a])//一直找到a的 根节点a = par[a];while (x != par[x]) {//路径压缩int t = par[x];par[x] = a;x = t;}return a;*///上面为非递归版本
}

合并函数的优化

 1 void unite(int x, int y) {//合并函数
 2     x = find(x);//查找x的根节点
 3     y = find(y);//查找y的根节点
 4     if (x == y)//若这两个数的结点是一样的，那么他们本来就是一个分组里的了，所以没有操作
 5         return ;
 6     if (rank[x] < rank[y]) //不然的话，  如果x这个分组的高度小于y分组的高度
 7         par[x] = y;//将x并到 y这个分组中，并且是x的父节点是y
 8     else {
 9         par[y] = x;//不然就是y的父节点为x
10         if (rank[x] == rank[y])//若两个分组的高度相同
11             rank[x]++;//x 的分组高度++
12     }
13 }

在这给出 这个题目的 优化的代码。

再来一个题  ： 题目题目

不会画图，就不好讲了。

并查集 算是马马虎虎的说完了吧。。。。

插播 ：

什么是  生成树？什么   又是    最小生成树？

给定一个无向图，如果它的某个子图中的任意两个顶点都互相联通并且是一棵树，那么这棵树就是  生成树   。

也就是说，在一个图中，有 n 个顶点 ，若有 n - 1 条边，能使得所有的顶点相连 ，就是 生成树了。

如果你给这些边  加上权值  ，那 权值 总和最小的额生成树  就是最小生成树

再插 ：

最小生成树  有两种方法   一种  ： 普利姆算法   另一种 ： 克鲁斯卡尔。

3、  普利姆算法  &  优先队列优化

prim算法和Dijkstra算法十分相似，都是从某个顶点出发，不断加边的算法。

1. 假设有一棵树只包含一个顶点的v的树T。

2.贪心的选取T和其他顶点之间相连的最小权值的边，并将它加入T中。

3.不断重复1,2  知道所有的点相连生成一棵最小生成树。（此算法的正确性，不给予证明）

下面开始练题。

题目    ：   我是题目 请点击

主函数对数据的获取及图的存储

 1 int main() {
 2     int n, m;
 3 
 4     while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//对边数 和点数的获取
 5         for (int i = 1; i <= m; i++) {//初始化
 6             for (int j = 1; j <= m; j++) {
 7                 G[i][j] = i == j ? 0 : INF;
 8             }
 9         }
10         while (n--) {
11             int u, v, w;
12             scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);//获取 数据
13             if (G[u][v] > w)//防止重边&&存两点之间的最短距离
14                 G[u][v] = G[v][u] = w;
15         }
16         prim(m);//调用函数
17     }
18     return 0;
19 }

普利姆函数

 1 void prim(int n) {
 2     int dis[VM];//记录 边的权值
 3     bool vis[VM];//记录为否访问
 4     int ans = 0;//
 5 
 6     memset(vis, 0, sizeof(vis));//初始化
 7     for (int i = 1; i <= n; i++)
 8         dis[i] = G[1][i];//初始化
 9     dis[1] = 0;// 
10     vis[1] = true;// 1 点标记为已访问
11     int i;
12     for (i = 2; i <= n; i++) {//进行 n - 1 次操作
13         int u = INF;//初始化
14         int k;
15         for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有顶点
16             if (!vis[j] && u > dis[j]) {//在所有的未加入的点中  找一个最小的权值
17                 k = j;//记录下标
18                 u = dis[j];//更新最小值
19             }
20         }
21         if (u == INF)//若图是不连通的   
22             break;//提前退出
23         vis[k] = true;//标记为已加入
24         ans += u;//加权值
25         for (int j = 1; j <= n; j++) {//遍历所有的点
26             if (!vis[j] && dis[j] > G[k][j])//对未加入的点&&能找到与此点相连且的权值最小的边 
27                 dis[j] = G[k][j];//进行更新
28         }
29     }
30     //输出
31     if (i - 1 == n)
32         printf("%d\n", ans);
33     else
34         printf("?\n");
35 }

上面的算法的时间复杂度为O（V * V），是不是和Dijkstra很相似呢？那么可不可用优化Dijkstra算法的方法来优化这个呢？ 当然可以

主函数对数据的获取 和 图的存储

 1 int main() {
 2     int n, m;
 3 
 4     while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//边的个数 顶点个数
 5         memset(head, -1, sizeof(head));//初始化
 6         cnt = 0;//初始化
 7         while (n--) {
 8             int u, v, w;
 9             scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);//获取数据
10             add(u, v, w);//加边
11             add(v, u, w);//无向图
12         }
13         prim(m);//普利姆算法
14     }
15     return 0;
16 }

prim函数

 1 void prim(int n) {//普利姆函数
 2     bool vis[VM];//标记是否访问过
 3     int dis[VM];//记录权值
 4     int ans = 0;//最小生成树的总值
 5     int count = 0;//计数
 6     priority_queue<P, vector<P>, greater<P> >que;//权值从小到大的队列
 7 
 8     fill(dis, dis + VM, INF);//初始化
 9     memset(vis, 0, sizeof(vis));//初始化
10     dis[1] = 0;//初始化
11     que.push(P(0, 1));//将 1点 和 dis[1] = 0 放入队列
12     while (que.empty() == false) {//队列不为空时
13         P p = que.top();//取出队首
14         que.pop();//删除
15         int u = p.second;//
16         if (vis[u] == true)//若此顶点已经加入生成树
17             continue;//
18         vis[u] = true;//否则，就标记为加入
19         ans += dis[u];//
20         count++;//加入点个数
21         for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {//遍历与该点相邻的点
22             node e = edge[i];
23             if (dis[e.v] > e.w) {//更新他们的权值
24                 dis[e.v] = e.w;//
25                 que.push(P(dis[e.v], e.v));//放入队列
26             }
27         }
28     }
29     //输出
30     if (count == n)
31         printf("%d\n", ans);
32     else
33         printf("?\n");
34 }

此算法的时间复杂度为O(E*log(V));   是不是很棒！

次算法结束。

4、  克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法就是利用了并查集这一方法，通过对所有边从小到大排序后，判断这两个顶点是否在一个分组中，若在一个分组中，说明这两个点已经加入到生成树之中，若不在一个分组中

就可以直接加上这个边了。

  还是以上一题为例

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <queue>
 6 #define LL long long
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 const int INF = 1e9+7;
11 const int VM = 103;
12 
13 struct node {//边的结构体
14     int u, v, w;
15 };
16 node edge[VM * 2];
17 int rank[VM];//分组的高度
18 int par[VM];//父节点
19 
20 bool cmp(const node &a, const node &b) {
21     return a.w < b.w;//按w从小到大排序
22 }
23 
24 int find(int x) {
25     if (par[x] == x)//若根节点为本身
26         return x;
27     return par[x] = find(par[x]);//路径压缩
28 }
29 
30 bool same(int x, int y) {//判断为否在同一分组中 
31     return find(x) == find(y);
32 }
33 
34 void unite(int x, int y) {
35     x = find(x);//查找根节点
36     y = find(y);//查找根节点
37     if (x == y)//若以在同一分组
38         return ;
39     if (rank[x] < rank[y])//y所在分组的高度 大于x的
40         par[x] = y;//将y作x的父节点。
41     else {
42         par[y] = x;//将x作为y的父节点
43         if (rank[x] == rank[y])//若两个分组高度相同
44             rank[x]++;//x分组所在高度++
45     }
46 }
47 
48 int main() {
49     int n, m;
50 
51     while (scanf("%d %d", &n, &m), n) {//获取边的个数 和顶点个数
52         int cnt = 0;//
53         for (int i = 1; i <= m; i++)//初始化
54             par[i] = i;
55         memset(rank, 0, sizeof(rank));//初始化
56         while (n--) {
57             scanf("%d %d %d", &edge[cnt].u, &edge[cnt].v, &edge[cnt].w);//获取数据
58             cnt++;
59         }
60         sort(edge, edge + cnt, cmp);//按权值从小到大排序
61         int ans = 0;//最小生成树 权值
62         int count = 0;//计数
63         for (int i = 0; i < cnt; i++) {//对所有的边
64             node e = edge[i];
65             if (!same(e.u, e.v)) {//若两点不属于一个分组
66                 ans += e.w;//权值总和
67                 unite(e.u, e.v);//合并两点
68                 count++;//计数
69             }
70         }
71         //输出
72         if (count == m - 1)
73             printf("%d\n", ans);
74         else
75             printf("?\n");
76     }
77     return 0;
78 }

自己感觉这个专题写的好糟糕啊，哎，深夜了，睡觉吧。明天又是新的一天啊。因为明天，不，今天8点就要开始新学期第一堂课了啊。